浙教版春季小班8下第07中心对称中位线反证法教师版Word文档下载推荐.docx

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（2）梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

　　（3）两个中位线定义间的联系：

可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。

二.中位线定理

　　1、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

（重要：

既是位置的关系，又是数量的关系。

）

推论：

三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。

2、中位线证明：

如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行且等于BC/2

　　法一：

过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

　　∵CF∥AD∴∠A=∠ACF

　　∵AE=CE、∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE∴AD=CF

　　∵D为AB中点∴AD=BD　∴BD=CF

　　∴BCFD是平行四边形∴DF∥BC且DF=BC

∴DE=BC/2　∴三角形的中位线定理成立.

　　法二：

利用相似证

　　∵D，E分别是AB，AC两边中点∴AD=AB/2AE=AC/2

　　∴AD/AE=AB/AC

　　又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC

　　∴DE/BC=AD/AB=1/2∴∠ADE=∠ABC

　　∴DF∥BC且DE=BC/2

三角形中位线定理的的逆定理

逆定理一：

三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

　　如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。

逆定理二：

在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

　　如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

　　【证法①】

　　取AC中点G，联结DG

　　则DG是三角形ABC的中位线∴DG∥BC

　　又∵DE∥BC

　　∴DG和DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线重合）

　　2、梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

　　中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用。

三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。

此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？

（1）全等三角形对应边相等；

（2）等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；

（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

（4）角平分线上的点到角的两边距离相等；

（5）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（6）直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半；

（7）平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；

（8）等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。

性质

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

梯形中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.　　L=（a+b）÷

2

　　已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．　　S梯=Lh

中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

例题

证明：

四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD边上中点，求证：

EF∥AD，且EF=（AD+BC）/2

　　证明：

梯形中位线　连接AF并延长交BC的延长线于G。

　　∵AD∥BC∴∠ADF=∠GCF

　　∵F是CD的中点∴DF=FC

　　∵∠AFD与∠CFG是对顶角∴∠AFD=∠CFG

　　∴△ADF≌△CGF（ASA）∴AF=FG，AD=CG

　　∴F是AG的中点

　　∵E是AB的中点∴EF是△ABG的中位线

　　∴EF∥BG,EF=BG/2=（BC+CG）/2∴EF=（AD+BC）/2

　　∵AD∥BC∴EF∥AD∥BC

3.扩展

　　三角形三条中位线所构成的三角形是原三角形的相似形。

三、基本题组

1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；

2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；

3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；

4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；

5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是；

6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。

7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。

8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。

9．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；

10．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；

11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。

三角形、梯形中位线综合练习

一、填空题

1．如图，EF是△ABC的中位线，EF＝3，则BC＝.

2．已知梯形的中位线长为9，一条底边长是12，那么另一条底边长是.

3．如图，把长为8cm的长方形对折，按图中的虚线剪出一个梯形并打开，则打开后的梯形中位线长为cm.

4．已知梯形的下底长为4cm，中位线长为3cm，则上底长为cm.

5．三角形各边分别是3cm、5cm、6cm，则连结各边中点所围成的三角形的周长是.

6．已知梯形的中位线长16cm，梯形的一条对角线把中位线分成两条线段，这两条线段的差是4cm,则梯形上底长是cm.

7．如图，△ABC中，AD、BE是中线且交于G，那么

＝.

第1题图第3题图第7题图

8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线EF与对角线分别相交于H和G，则GH的长是.

9．如果中位线长是5，那么梯形的上底和下底的和是.

10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF为中位线，G为BC上任一点，如果S△GEF＝2

cm2，

那么梯形的面积是cm2.

11．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于D，若DE＝2，则EB＝_____．

第8题图第10题图第11题图

二、选择题

12．梯形的上底长4cm，下底长6cm，则梯形的中位线长为（）

　　A.12cmB.5cmC.10cmD.20cm

13．如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形周长为（）

　　A.9B.6C.3D.

14．在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，那么顺次连结四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是（）

　　A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形

15．M、N、P、Q顺次为四边形ABCD各边的中点，下面条件使四边形MNPQ为正方形的条件是（）

　　A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形

　　C.四边形ABCD是等腰梯形D.四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC＝BD

16．已知三角形三边长分别为a、b、c，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是（）

　　A.

（a+b+c）B.

（a+b+c）　　C.

（a+b+c）D.

（a+b+c）

17．如果梯形的一底为6，中位线为8，则另一底为（）

　　A.4B.7C.10D.14

18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，如果中位线EF的长为4cm，且BC＝3AD，则梯形下底的长为（）

　　A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm

19．如图，△ABC中，如果AB＝30cm，BC＝24cm，AC＝27cm，AE＝EF＝FB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为（）

　　A.70cmB.75cmC.80cmD.81mc

20．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于H，则AH∶HE等于（　　）

A．1∶1B．2∶1C．1∶2D．3∶2

第18题图第19题图第20题图

三、解答题

21．如图，△ABC中，D为AC的中点，E、F为AB的三等分点，CF交BD于G．求证：

BG＝GD．

22．如图，△ABC中，BM平分∠ABC，AM⊥BM，垂足为M，点N为AC的中点，设AB＝10，BC＝6，求MN的长度.

23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，若∠ABD＝20°

，∠BDC＝70°

，求∠NMP的度数.

24．如图，在△ABC中，∠A+∠B＝2∠ACB，BC＝8，D为AB的中点，且CD＝

，求AC的长.

25．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，求证：

DM＝

AB.

26．如图，△ABC的∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE＝AD＝4，求△ABC三边之长.

中心对称与中心对称图形：

一、概念：

1、中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°

，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2.中心对称图形：

在平面内，一个图形绕某个点旋转180°

，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

二、中心对称的性质：

（1）关于中心对称的两个图形是全等形；

（2）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分；

（3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

三、轴对称与中心对称的区别与联系：

轴对称

中心对称

有一条对称轴——直线

有一个对称中心——点

图形沿对称轴对折（翻折180º

）后重合

图形绕对称中心旋转180º

后重合

对称点的连线被对称轴垂直平分

对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分

四、几种常见的轴对称图形和中心对称图形：

常见的中心对称图形

线段，矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆,边数为偶数的正多边形，某些不规则图形等。

正偶边形是中心对称图形；

正奇数边形不是中心对称图形

※正六角形是中心对称图形，等腰梯形不是中心对称图形，等边三角形（正三角形）不是中心对称图形，反比例函数的图像双曲线是以原点为对称中心的中心对称图形

例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对称图形.有的轴对称图形有不止一条对称轴,但轴对称图形最少有一条对称轴。

圆有无数条对称轴，都是经过圆心的直线。

要特别注意的是线段，它有两条对称轴，一条是这条线段所在的直线,另一条是这