数学二次函数综合练习题含答案文档格式.docx

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D．

[答案]C．

[解析]首先根据题意推断方程x3＋2x－1=0的实根是函数y=x2＋3与

的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3＋2x－1=0的实根x0所在范围．

解：

依题意得方程x3＋2x－1=0的实根是函数y=x2＋2与

的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．

当x=

时，y=x2＋2=2

，

=4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；

=3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；

=2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；

当x=1时，y=x2＋2=3，

=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．

所以方程

所在的范围是

．

所以应选C．

[方法指导]此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

[易错警示]不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．

3.（2013重庆市（A），12，4分）一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y＝

（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（－2，0）．则下列结论中，正确的是（）

A．b＝2a＋kB．a＝b＋kC．a＞b＞0D．a＞k＞0

[答案]D．

[解析]∵一次函数与二次函数的图象交点A的坐标为（－2，0），∴－2a＋b＝0，∴b＝2a．

又∵抛物线开口向上，∴a＞0，则b＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k＞0．

∴2a＋k＞2a，即b＜2a＋k．故A选项错误．

假设B选项正确，则将b＝2a代入a＝b＋k，得a＝2a＋k，a＝－k．又∵a＞0，∴－k＞0，即k＜0，这与k＞0相矛盾，∴a＝b＋k不成立．故B选项错误．

再由a＞0，b＝2a，知a，b两数均是正数，且a＜b，∴b＞a＞0．故C选项错误．

这样，就只有D选项正确．

[方法指导]本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象与性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D为何正确，可由二次函数y＝ax2＋bx与反比例函数y＝

（k≠0）的图象，知当x＝－

＝－

＝－1时，y＝－k＞－

＝－a，即k＜a．又因为a＞0，k＞0，所以a＞k＞0．

[易错警示]二次函数a、b、c的符号的确定与函数图象的关系混淆不清．

4.（2013湖南益阳，7，4分）抛物线

的顶点坐标是（）

A．（3，1）B．（3，－1）C．（－3，1）D．（－3，－1）

[答案]：

A

[解析]抛物线

的顶点是（h，k）

[方法指导]求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；

也可以利用顶点公式

求顶点坐标。

4．（2013•徐州，28，10分）如图，二次函数y＝x2＋bx－的图象与x轴交于点A（－3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：

　（－3，4）　；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标与此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；

若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；

（2）PA＝t，OE＝l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；

（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．

解答：

（1）（－3，4）；

（2）设PA＝t，OE＝l，

由∠DAP＝∠POE＝∠DPE＝90°

得△DAP∽△POE，

∴，∴l＝－＋＝－（t－）2＋

∴当t＝时，l有最大值，

即P为AO中点时，OE的最大值为；

（3）存在．

①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（－4，0）

由△PAD∽△OEG得OE＝PA＝1，∴OP＝OA＋PA＝4。

∵△ADG∽△OEG，∴AG：

GO＝AD：

OE＝4：

1

∴AG＝＝

∴重叠部分的面积＝＝

②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），

此时重叠部分的面积为

点评：

本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．

5．（2013·

鞍山，18，2分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；

若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？

每月的最大利润是多少？

二次函数的应用．

（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；

（2）根据“利润＝（售价－成本）×

售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．

（1）由题意，可设y＝kx+b，

把（5，30000），（6，20000）代入得：

，解得：

所以y与x之间的关系式为：

y＝－10000x+80000；

（2）设利润为W，则W＝（x－4）（－10000x+80000）

＝－10000（x－4）（x－8）＝－10000（x2－12x+32）＝－10000[（x－6）2－4]

＝－10000（x－6）2+40000

所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．

答：

当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．

本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：

数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识．　

6．（2013•东营，24，12分）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为

B（0，－1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为

直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点

C的坐标以与此时圆的圆心P点的坐标．

（3）在

（2）的基础上，设直线x=t（0<

t<

10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．

（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解．

（2）设C点坐标为（x，y），由题意可知

．过点C作

轴于点D，连接AB，AC．易证

，根据对应线段成比例得出

的关系式

，再根据点C在抛物线上得

，联立两个关系式组成方程组，求出

的值，再根据点C所在的象限确定点C的坐标。

P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．可得

，故点H的坐标为（5，0）再根据点P在BC上，可求出直线BC的解析式，求出点P的坐标。

（3）根据

，得

，所以求

的最大值就是求MN的最大值，而M，N两点的横坐标一样，所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标，从而形成关于MN长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。

（1）∵抛物线的顶点是A（2，0），设抛物线的解析式为

由抛物线过B（0，－1）得

，∴

．……………………2分

∴抛物线的解析式为

即

．………………………………3分

（2）设C的坐标为（x，y）．

∵A在以BC为直径的圆上．∴∠BAC=90°

作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．

∵

∴

∴△AOB∽△CDA．………………………4分∴

∴OB·

CD=OA·

AD．

即1·

=2（x－2）．∴

=2x－4．

∵点C在第四象限．

………………………………5分

由

解得

∵点C在对

称轴右侧的抛物线上．

∴点C的坐标为（10，－16）．……………………6分

∵P为圆心，∴P为BC中点．

取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．

∴PH=

（OB+CD）=

．……………………7分

∵D（10，0）∴H（5，0）∴P（5，

）．

故点P坐标为（5，

）．…………………………8分

（3）设点N的坐标为

，直线x=t（0<

10）与直线BC交于点M．

所以

………………………9分

设直线BC的解析式为

，直线BC经过B（0，－1）、C（10，－16）

成立，解得：

…………………………10分

所以直线BC的解析式为

，则点M的坐标为．

MN=

=

………………………11分

=

所以，当t=5时，

有最大值，最大值是

．…………………………12分

点拨：

（1）已知抛物线的顶点坐标（h，k）一般可设其解析式为

．

（2）求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解．

7．（2013·

济宁，23，?

分）如图，直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．

（1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？

并求出最大值．

一次函数综合题．

（1）根据直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；

（2）当PQ=PE时，以与当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；

（3）根据

（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．

（1）∵直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，

∴x=0时，y=4，y=0