全等三角形培优专题训练Word下载.docx

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全等三角形培优专题训练Word下载.docx

⑴图中共有几对全等三角形,请把它们都写下来;

⑵求证:

∠MAE=∠NCF

5、在△ABC中,高所在直线AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC=_____________.

6、下列三个判断:

⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;

⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;

⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.

上述判断是否正确?

若正确,说明理由;

若不正确,请举出反例.

八年级数学培优专题训练(三)

全等三角形的应用

全等三角形常用来转移线段和角,用它来证明:

①线段和角的等量关系

②线段和角的和差倍分关系

③直线与直线的平行或垂直等位置关系

1、如图,已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.试判断AP与AQ的关系,并证明.

2、如图,AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且BF=AC,FD=CD,

求证:

BE⊥AC

3、(2012·

阜新中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAC=90°

.

⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系?

证明你猜想的结论.

⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°

<α<90°

) 

,如图②,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?

问明理由.

4、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.

⑴如图①,当点D在线段BC上时,若∠BAC=90°

,则∠BCE=_______度.

⑵设∠BAC=α,∠BCE=β

a、如图②,当点D在线段BC上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?

请说明理由.

b、当点D在直线BC上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?

请直接写出你的结论.

八年级数学培优专题训练(四)

辅助线作法之连接法

在几何证明中,常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有:

连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.

1、如图,△ABC的两条高BD,CE相交于点P,且PD=PE.

证明∶AC=AB

2、已知AB=DE,BC=EF,∠B=∠E,AF=CD

AC∥DF

3、如图,AB交CD于点O,AD、CB的延长线相交于点E,且OA=OC,EA=EC.∠A=∠C吗?

点O在∠AEC的平分线上吗?

八年级数学培优专题训练(五)

辅助线作法之倍长中线法

在题目条件中含有中线的问题,我们常用的辅助线就是将中线延长一倍,其目的是为了得一对全等三角形,将分散的条件集中到一个三角形中去.

1、△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围.

2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,又是BC上的中线

AB=AC

3、(2014·

襄阳初三模拟)在△ABC中,D是边BC上的一点,且CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的中线.

求证∶AC=2AE

4、(竞赛014)△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF交AB,AC于点E,F.

BE+CF>EF

6、(竞赛015)例:

已知AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=EF.

求证:

AC=BF

八年级数学培优专题训练(六)

辅助线作法之截长补短法

截长法:

在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条,再证明剩余部分与另一条相等.

补短法:

把两条线段中的一条补到另一条线段上去,证明所得新线段与第三条线段相等.

1、已知AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB和∠DBA,点E在CD上.

AB=AC+BD

2、在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且AE=½

(AB+AD).

求证∶∠B+∠D=180°

3、如图,已知△ABC中,∠A=90°

,AB=AC,D为AC的中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F.

∠ADB=∠CDF

4、如图,∠C=90°

,AC=BC,AD是∠BAC的角平分线.

求证∶AC+CD=AB

12、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°

,求五边形ABCDE的面积.

八年级数学培优专题训练(七)

辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形

2、(2012·

“华罗庚杯”)如图,在△ABC中,AC=½

AB,AD平分∠BAC,且AD=BD

CD⊥AC

八年级数学培优专题训练(八)

全等三角形在动态几何中的运用

1、(竞赛·

014·

3)如图,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC.△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.

⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;

⑵将△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;

⑶将△EFP沿直线l向左平移到图③的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?

若成立,给出证明;

若不成立,请说明理由.

八年级数学培优专题训练(九)

探究角平分线

一、知识清单

角平分线的定义:

从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.

三角形的角平分线定义:

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线).由定义可知,三角形的角平分线是一条线段.

角平分线性质:

1、角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.

2、角平分线分得的两个角相等,都等于该角的一半.

3、三角形的三条角平分线交于一点,且到各边的距离相等,这个点称为内心.

二、方法点拨

证明角平分线有两种方法:

一是运用定义证明两个角相等;

二是运用角平分线的判定方法.

三、规律清单

①遇到角平分线,可从角平分线上的某一点向角的两边作垂线段(图1).

②遇到角平分线,常可利用翻折法或截长补短法解题(图2).

③有两条角平分线(内角或外角)交于一点,则连接该点与三角形第三个顶点的线段会平分一个内角或外角(图3).

④有垂直于角平分线的线段,则延长这条线段以利用三线合一解题(图4).

⑤遇到角内的一点到角的两边有垂线段时,就连接这点与角的顶点,看能否平分已知角(图5).

⑥遇到有多条角平分线时,可尝试用整体的思想解题(图6).

⑦有翻折条件时,除注意全等的结论,还应关注折线就是角平分线、是对称轴(如图7).

⑧角平分线、平行线、等腰三角形三个条件中出现任意两个,常可直接得到另一个(如图8).

四、真题训练

1、(2011·

鄂州·

竞赛·

018·

重庆中考)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P,若∠BPC=40°

,则∠CAP=_____________.

2、(竞赛·

019)如图,∠B=∠C=90°

,M是BC的中点,DM平分∠ADC.

AM平分∠DAB

3、(竞赛·

019)如图,在△ABC中,∠BAC=90°

AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.

CE=

BD

4、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD=CD

∠B=∠C

5、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°

,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=10cm,则△DBE的周长是多少?

6、(2011,恩施中考)AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为多少?

7、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.

BE=CF

8、在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠BAF=180°

DE=DF

⑵如果把最后一个条件改为AE>AF,且∠AED+∠AFD=180°

,那么结论还成立吗?

9、如图,已知AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE与CF交于点D

点D在∠BAC的平分线上.

10、如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB>AD,下列结论正确的是()

A.AB-AD>CB-CD

B.AB-AD=CB-CD

C.AB-AD<CB-CD

D.AB-CD与CB-CD的大小关系不确定

11、(竞赛014)如图,已知△ABC中,∠B=60°

,∠BAC,∠BCA的平分线AD,CE相交于点O.

DC+AE=AC

12、(竞赛·

019)如图,已知△ABC,P为内角平分线AD、BE、CF的交点,过点P作PG⊥BC于G点。

试说明∠BPD与∠CPG的大小关系,并说明理由。

八年级数学培优专题训练(十)

应用线段垂直平分线的性质和判定解题

定义:

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质:

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

线段垂直平分的判定:

与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

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