全等三角形培优专题训练Word下载.docx
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⑴图中共有几对全等三角形,请把它们都写下来;
⑵求证:
∠MAE=∠NCF
5、在△ABC中,高所在直线AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC=_____________.
6、下列三个判断:
⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;
⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;
⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.
上述判断是否正确?
若正确,说明理由;
若不正确,请举出反例.
八年级数学培优专题训练(三)
全等三角形的应用
全等三角形常用来转移线段和角,用它来证明:
①线段和角的等量关系
②线段和角的和差倍分关系
③直线与直线的平行或垂直等位置关系
1、如图,已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.试判断AP与AQ的关系,并证明.
2、如图,AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且BF=AC,FD=CD,
求证:
BE⊥AC
3、(2012·
阜新中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAC=90°
.
⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系?
证明你猜想的结论.
⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°
<α<90°
)
,如图②,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?
问明理由.
4、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
⑴如图①,当点D在线段BC上时,若∠BAC=90°
,则∠BCE=_______度.
⑵设∠BAC=α,∠BCE=β
a、如图②,当点D在线段BC上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?
请说明理由.
b、当点D在直线BC上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?
请直接写出你的结论.
八年级数学培优专题训练(四)
辅助线作法之连接法
在几何证明中,常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有:
连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.
1、如图,△ABC的两条高BD,CE相交于点P,且PD=PE.
证明∶AC=AB
2、已知AB=DE,BC=EF,∠B=∠E,AF=CD
AC∥DF
3、如图,AB交CD于点O,AD、CB的延长线相交于点E,且OA=OC,EA=EC.∠A=∠C吗?
点O在∠AEC的平分线上吗?
八年级数学培优专题训练(五)
辅助线作法之倍长中线法
在题目条件中含有中线的问题,我们常用的辅助线就是将中线延长一倍,其目的是为了得一对全等三角形,将分散的条件集中到一个三角形中去.
1、△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围.
2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,又是BC上的中线
AB=AC
3、(2014·
襄阳初三模拟)在△ABC中,D是边BC上的一点,且CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的中线.
求证∶AC=2AE
4、(竞赛014)△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF交AB,AC于点E,F.
BE+CF>EF
6、(竞赛015)例:
已知AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=EF.
求证:
AC=BF
八年级数学培优专题训练(六)
辅助线作法之截长补短法
截长法:
在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条,再证明剩余部分与另一条相等.
补短法:
把两条线段中的一条补到另一条线段上去,证明所得新线段与第三条线段相等.
1、已知AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB和∠DBA,点E在CD上.
AB=AC+BD
2、在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且AE=½
(AB+AD).
求证∶∠B+∠D=180°
3、如图,已知△ABC中,∠A=90°
,AB=AC,D为AC的中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F.
∠ADB=∠CDF
4、如图,∠C=90°
,AC=BC,AD是∠BAC的角平分线.
求证∶AC+CD=AB
12、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°
,求五边形ABCDE的面积.
八年级数学培优专题训练(七)
辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形
2、(2012·
“华罗庚杯”)如图,在△ABC中,AC=½
AB,AD平分∠BAC,且AD=BD
CD⊥AC
八年级数学培优专题训练(八)
全等三角形在动态几何中的运用
1、(竞赛·
014·
3)如图,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC.△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
⑵将△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;
⑶将△EFP沿直线l向左平移到图③的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;
若不成立,请说明理由.
八年级数学培优专题训练(九)
探究角平分线
一、知识清单
角平分线的定义:
从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.
三角形的角平分线定义:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线).由定义可知,三角形的角平分线是一条线段.
角平分线性质:
1、角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.
2、角平分线分得的两个角相等,都等于该角的一半.
3、三角形的三条角平分线交于一点,且到各边的距离相等,这个点称为内心.
二、方法点拨
证明角平分线有两种方法:
一是运用定义证明两个角相等;
二是运用角平分线的判定方法.
三、规律清单
①遇到角平分线,可从角平分线上的某一点向角的两边作垂线段(图1).
②遇到角平分线,常可利用翻折法或截长补短法解题(图2).
③有两条角平分线(内角或外角)交于一点,则连接该点与三角形第三个顶点的线段会平分一个内角或外角(图3).
④有垂直于角平分线的线段,则延长这条线段以利用三线合一解题(图4).
⑤遇到角内的一点到角的两边有垂线段时,就连接这点与角的顶点,看能否平分已知角(图5).
⑥遇到有多条角平分线时,可尝试用整体的思想解题(图6).
⑦有翻折条件时,除注意全等的结论,还应关注折线就是角平分线、是对称轴(如图7).
⑧角平分线、平行线、等腰三角形三个条件中出现任意两个,常可直接得到另一个(如图8).
四、真题训练
1、(2011·
鄂州·
竞赛·
018·
重庆中考)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P,若∠BPC=40°
,则∠CAP=_____________.
2、(竞赛·
019)如图,∠B=∠C=90°
,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
AM平分∠DAB
3、(竞赛·
019)如图,在△ABC中,∠BAC=90°
AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.
CE=
BD
4、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD=CD
∠B=∠C
5、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=10cm,则△DBE的周长是多少?
6、(2011,恩施中考)AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为多少?
7、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
BE=CF
8、在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠BAF=180°
DE=DF
⑵如果把最后一个条件改为AE>AF,且∠AED+∠AFD=180°
,那么结论还成立吗?
9、如图,已知AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE与CF交于点D
点D在∠BAC的平分线上.
10、如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB>AD,下列结论正确的是()
A.AB-AD>CB-CD
B.AB-AD=CB-CD
C.AB-AD<CB-CD
D.AB-CD与CB-CD的大小关系不确定
11、(竞赛014)如图,已知△ABC中,∠B=60°
,∠BAC,∠BCA的平分线AD,CE相交于点O.
DC+AE=AC
12、(竞赛·
019)如图,已知△ABC,P为内角平分线AD、BE、CF的交点,过点P作PG⊥BC于G点。
试说明∠BPD与∠CPG的大小关系,并说明理由。
八年级数学培优专题训练(十)
应用线段垂直平分线的性质和判定解题
定义:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
线段垂直平分的判定:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
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