届高中数学苏教版 直线与圆锥曲线的位置关系单元测试 Word版 含答案Word下载.docx
《届高中数学苏教版 直线与圆锥曲线的位置关系单元测试 Word版 含答案Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届高中数学苏教版 直线与圆锥曲线的位置关系单元测试 Word版 含答案Word下载.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
.
因为|AM|=|AN|,k>
0,
所以
整理得(k-1)(4k2+k+4)=0,
4k2+k+4=0无实根,所以k=1.
所以△AMN的面积为
(2)直线AM的方程为y=k(x+
),
(3+tk2)x2+2t
k2x+t2k2-3t=0,
解得x=-
或x=-
所以|AM|=
同理可求|AN|=
因为2|AM|=|AN|,
所以2·
整理得,t=
因为椭圆E的焦点在x轴,所以t>
3,即
>
3,
整理得
<
解得
k<
2.
2.(2016·
全国卷Ⅱ文科·
T21)已知A是椭圆E:
=1的左顶点,斜率为k(k>
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积.
(2)当2|AM|=|AN|时,证明:
(1)设出点Μ(x1,y1)的坐标,由已知条件可得点Μ的坐标,进而可得△ΑΜΝ的面积.
(2)利用弦长公式表示出2|AM|=|AN|,得到关于k的方程,利用函数的单调性确定k的取值范围.
(1)设Μ(x1,y1),则由题意知y1>
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2,
将x=y-2代入
=1,得7y2-12y=0.
解得y=0或y=
所以y1=
因此△AMN的面积为2×
×
(2)设直线AM的方程为y=k(x+2)(k>
0),代入
=1,
得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
由x1·
(-2)=
得x1=-
故|AM|=|x1+2|
由题意设直线AN的方程为y=-
(x+2),
故同理可得|AN|=
由2|AM|=|AN|,得
即4k3-6k2+3k-8=0,
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,
f'
(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,
所以f(t)在(0,+∞)上单调递增,
又f(
)=15
-26<
0,f
(2)=6>
因此f(t)在(0,+∞)上有唯一的零点,且零点k在(
2)内,故
3.(2016·
山东高考理科·
T21)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
=1
的离心率是
抛物线E:
x2=2y的焦点F是C的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证:
点M在定直线上;
②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.
(1)由抛物线E:
x2=2y的焦点F是C的一个顶点,易知b=
再由离心率可求a.
(2)设出P点坐标,表示出直线l的方程,与椭圆方程联立,可求D点坐标,表示出直线OD的方程,进而可求M点纵坐标,①得以解决;
结合三角形相似和基本不等式可解决②.
(1)由题意F点的坐标为
所以b=
又e=
易得a2=4b2=1,于是椭圆C的方程为x2+4y2=1.
(2)①设P(2t,2t2)
则直线l的斜率kl=2t,直线l的方程为:
y-2t2=2t(x-2t),
即y=2tx-2t2,将其与x2+4y2=1联立得,
x2-32t3x+16t4-1=0,
则x1+x2=
y1+y2=2t(x1+x2)-4t2=
所以D
所以kOD=-
可得直线OD的方程为:
y=-
由题意,xM=2t,所以yM=
所以点M在定直线y=-
上.
②由图可知,|OG|=2t2,|FG|=2t2+
所以S1=
S△DOG=
显然,△DPM与△DGO相似,所以
S2=
当且仅当8t2+2=16t2+1,即t=
时,取等号.所以
的最大值为
取得最大值时点P的坐标为
4.(2016·
山东高考文科·
T21)
已知椭圆C:
=1(a>
b>
0)的长轴长为4,焦距为2
(2)过动点M(0,m)(m>
0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.
①设直线PM,QM的斜率分别为k,k'
证明
为定值.
②求直线AB的斜率的最小值.
(1)由长轴长为4,焦距为2
可得a=2,c=
方程易得.
(2)设出点P坐标,易得点Q坐标,表示出直线PM,QM的斜率分别为k与k'
它们之比易得;
借助上述关系可以方便计算直线AB的斜率,此外理清直线截距与斜率k之间的关系是解决问题的又一关键.
(1)由题意a=2,c=
所以b2=2,所以椭圆方程为
=1.
(2)①由题意,设P
则Q(p,-2m),
=-3为定值.
②直线PA的斜率k=
其中0<
m2<
所以k>
0.
将直线y=Kx+m与椭圆方程联立,可得,
x2+4Kmx+2m2-4=0.
设A
B
直线PA:
y=kx+m,直线QB:
y=-3kx+m,
分别令K=k,K=-3k可得:
x1p=
x2p=
所以,kAB=
(当且仅当k=
时取等号).
所以,直线AB的斜率的最小值为
5.(2016·
天津高考理科·
T19)(本小题满分14分)
设椭圆
)的右焦点为F,右顶点为A.已知
其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程.
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(点B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.
(1)利用
得出a的值,进而得到椭圆的方程.
(2)设出直线l的点斜式方程,与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系用直线l的斜率k表示出点B的坐标,利用垂直关系设出HM的方程,求出H点的坐标,利用HF⊥FB表示出M点的坐标,由∠MOA≤∠MAO知M点的横坐标大于等于1,解不等式即可.
(1)由题意,如图所示:
已知
解得a=2,
所以椭圆方程为:
(2)由已知,设l斜率为k(k≠0),方程为y=k(x-2).
设B(xB,yB),M(x0,k(x0-2)),x0≥1(∠MOA≤∠MAO),H(0,yH),与椭圆的方程联立可得
整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,Δ>
0成立
由根与系数的关系得2·
xB=
所以xB=
yB=k(xB-2)=
lHM:
y-k(x0-2)=-
(x-x0),
令x=0,得yH=
x0-2k,
因为HF⊥FB,所以
=(-1,yH)·
(xB-1,yB)=0,
即1-xB+yHyB=1-
=0,
所以x0=
≥1,所以8k2≥3,
所以k≥
或k≤-
所以直线l的斜率的取值范围为(-∞,
]U[
+∞)
6.(2016·
天津高考文科·
)的右焦点为F,右顶点为A,已知
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(点B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
得出a的值,进而得到椭圆的方程.
(2)∠MOA=∠MAO⇔MA=MO,所以M在OA的中垂线上,所以xM=1,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求B点坐标,利用两直线方程组求H,最后根据BF⊥HF,列等量关系解出直线斜率.
(1)由题意,如图所示
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2),
设B(xB,yB),由方程组
消去y,
整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=
由题意得xB=
从而yB=
由
(1)知F(1,0),设H(0,yH),有
=(-1,yH),
由HF⊥FB,得
=0,所以
解得yH=
因此直线MH的方程为y=-
设M(xM,yM),由方程组
消去y,得xM=
在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔MA=MO,
即(xM-2)2+
+
化简得xM=1,即
解得k=-
或
所以直线l的斜率为-
7.(2016·
北京高考文科·
T19)已知椭圆C:
过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率.
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:
四边形ABNM的面积为定值.
(1)把A,B两点代入可求得a,b.
(2)设P(x0,y0),表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.
(1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为
+y2=1.
因为c=
所以离心率e=
(2)设P(x0,y0),其中x0<
0,y0<
则直线AP方程为y=
(x-2),直线BP方程为y=
x+1.
所以M
N
所以|AN|=2+
|BM|=
+1.
所以四边形ABNM的面积为S=
|AN||BM|
.
因为点P在椭圆C上,所以
=4-4
.代入上式得
S=
=2.
因此,四边形ABNM的面积为定值2.
关闭Word文档返回原板块