2 4高等数学同济大学第六版本.docx
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24高等数学同济大学第六版本
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文案大全
习题2?
4
1?
求由下列方程所确定的隐函数y的导数dxdy?
（1）y2?
2xy?
9?
0?
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（2）x3?
y3?
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0?
（3）xy?
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解
（1）方程两边求导数得
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于是（y?
x）y?
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（2）方程两边求导数得
3x2?
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0?
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于是（y2?
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（3）方程两边求导数得
y?
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y（1?
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于是（x?
ex?
y）y?
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（4）方程两边求导数得
y?
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xeyy?
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于是（1?
xey）y?
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ey?
yxee?
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1?
求曲在处的切线方程和法线方
方程两边求导数
于
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实用文档
文案大全
所求切线方程为
）42（42axay?
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即ayx22?
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所求法线方程为
）42（42a
xay?
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即x?
y?
0?
3?
求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22dxyd?
（1）x2?
y2?
1?
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（2）b2x2?
a2y2?
a2b2?
（3）y?
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y）?
（4）y?
1?
xey?
解
（1）方程两边求导数得
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2yy?
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3322221）（yyxyyyxxyyyxyyxy?
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（2）方程两边求导数得
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22?
22222222）（yyxabxyabyyxyaby?
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（3方程两边求导数
y?
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sec2（x?
y）?
（1?
y?
）?
1）（cos1）（sec1）（sec222?
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yxyxyxy
实用文档
文案大全222211）（sin）（cos）（sinyyxyxyx?
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52233）1
（2）11（22yyyyyyy?
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（4）方程两边求导数得
y?
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2）1（11?
3222）2（）3（）2（）3（）2（）（）2（yyeyyyeyyeyyeyyyyy?
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用对数求导法求下列函数的导数?
（1）xxxy）1（?
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（2）55225?
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xxy?
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解
（1）两边取对数得
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x|，
两边求导得
xxxxxxyy?
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11）1ln（1ln1?
于
（2两边取对数
2ll
两边求导
2于
实用文档
文案大全
（3）两边取对数得
）3ln（4）2ln（21ln?
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xxy两边求导得
1542（211?
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xxyy?
于是1）1（3（2?
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xxy（4）两边取对数得ln21lnxy?
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两边求导得
21211xyy?
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于是sinxxy?
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sin41?
xx5?
求下列参数方程所确定的函数的导数
（1）?
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22btyatx?
（2）?
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cossin1（yx解
（1）atbtxydxdytt23?
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（2）?
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已知?
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cossineyextt解eexydxdyttttsincos?
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当3?
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t时?
2121?
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dxdy7?
写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程
3）?
x[）4?
x
）2（25?
xln41sinln1x?
xe
24cotx?
）1（xe?
c1?
21[1xe?
2xco2?
x?
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2[1?
xxe）?
tb32?
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.,tt求当3?
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t时tettcossin?
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tettsincos?
33123?
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313?
2
dddd的cosi
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文案大全
（1）cosi
（2）aa=
（1ddcosi?
cosindd?
所求切线方程
所求法线方程
（2aaa
aa
aadd
dd1
所求切线方程11
所求法线方程
1
求下列参数方程所确定的函数的二阶导d
（1）
（2）sico
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文案大全
（3）
（4）t?
存在且不为?
（1）dd2
（tttyddttx?
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（2）
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tabtatabxydxydttx32222sinsincsc）（?
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（3）
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tttttxeeexydxyd3222943232）（?
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（4）
ttftftfttfxydxdytt?
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）（）（）（）（?
）
（1）（22tfxydxydttx?
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9?
求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33dxyd?
（1）?
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321ttytx?
（2）?
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ttytxarctan）1ln（2?
解
（1）tttttdxdy231）1（）（223?
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）31（412）231（3222tttttdxyd?
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）1（832）31（4125333tttttdxyd?
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实用文档
文案大全（2dd[lnarcta
tttttdxyd4112）21（2222?
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3422338112）41（ttttttdxyd?
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1落在平静水面上的石产生同心波若最外一圈波半径的增大率6m问秒末扰动水面面积的增大率为多少
设波的半径对应圆面积两边同时求导
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（米2?
秒）?
11?
注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中?
其速率为4m2/min?
当水深为5m时?
其表面上升的速度为多少？
解水深为h时?
水面半径为hr21?
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水面面积为?
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水的体积为3212413131hhhhSV?
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2516425442?
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dtdVhdtdh（m/min）?
12?
溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中?
开始时漏斗中盛满了溶液?
已知当溶液在漏斗中深为12cm时?
其表面下降的速率为1cm/min?
问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？
解设在t时刻漏斗在的水深为y?
圆柱形筒中水深为h?
于是有
hyr22253118631?
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由186yr?
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得3yr?
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代入上式得
hyy2225）3（3118631?
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1
两边求导
1?
代入上式
6211（cm/min）
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