最新整理初中数学竞赛专题讲解及练习题分析第17项之 解直角三角形Word文件下载.docx

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思路点拨延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件．

【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=

，BC-1，CD=

，∠B=135°

，∠C＝90°

，则∠D等于（）

A．60°

B．67．5°

C．75°

D．无法确定

思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形．

注：

因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？

请记住：

有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．

在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；

在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．

【例3】如图，在△ABC中，∠=90°

，∠BAC=30°

，BC=l，D为BC边上一点，tan∠ADC是方程

的一个较大的根?

求CD的长．

思路点拨解方程求出tan∠ADC的值，解Rt△ABC求出AC值，为解Rt△ADC创造条件．

【例4】如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0．5米，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°

．问此时车厢的最高点A距离地面多少米?

（精确到1米）

思路点拨作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路

【例5】如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°

，此时，求：

（1）如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?

（2）如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?

思路点拨

（1）设甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，则图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；

（2）设点A的影子落在地面上某一点C，求BC即可．

在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等．若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．

学历训练

1．如图，在△ABC中，∠A=30°

，tanB=

，BC=

，则AB的长为．

2．如图，在矩形ABCD中．E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若tan∠AEH

=

，四边形EFGH的周长为40cm，则矩形ABCD的面积为．

3．如图，旗杆AB，在C处测得旗杆顶A的仰角为30°

，向旗杆前北进10m，达到D，在D处测得A的仰角为45°

，则旗杆的高为．

4．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°

和北偏东15°

方向，那么B处船与小岛M的距离为（）

A．20海里B．20海里C．

海里D．

5．已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于

的方程

有两个相等的实根，且sinB·

cosA—cosB·

sinA＝0，则△ABC的形状为（）

A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形

6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°

，∠B=∠D=90°

，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）

A．

B．

C．4D．6

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D，CD=1，已知AD、BD的长是关于

的两根，且tanA—tanB=2，求

、

的值．

8．如图，某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°

、45°

，在B地测得C地的仰角为60°

．已知C地比A地高200米，则电缆BC至少长多少米?

（精确到0.1米）

9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°

，∠CBD＝30，则

=．

10．如图，正方形ABCD中，N是DC的中点．M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM＝．

11．在△ABC中，AB=

，BC=2，△ABC的面积为l，若∠B是锐角，则∠C的度数是．

12．已知等腰三角形的三边长为a、b、c，且

，若关于

的一元二次方程

的两根之差为

，则等腰三角形的一个底角是（）

A．15°

B．30°

C．45°

D．60°

13．如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=

AC，CE=

BC，则∠1和∠2的大小关系是（）

A．∠1>

∠2B．∠1<

∠2C．∠1＝∠2D．无法确定

14．如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF，点E在CB的延长线上，EF交AB于点G．

（1）求证：

DF×

FC＝BG×

EC；

（2）当tan∠DAF=

时，△AEF的面积为10，问当tan∠DAF=

时，△AEF的面积是多少?

15．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．

16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°

方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．

（1）该城市是否会受到这次台风的影响?

请说明理由．

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?

17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．

（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：

①测量数据尽可能少；

②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；

如果测D、C间距离，用n表示；

如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计）．

（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）．

参考答案