河南省濮阳市届高三第一次模拟考试数学理试题Word格式文档下载.docx
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4.函数
的图象大致为（）
C.
，所以函数是偶函数，关于
轴对称，排除A.D，当
时，
，排除B，故选C.
5.设
，若
，所以原式等于
而
，
，又因为
，所以
，可求得
，那么
6.设点
是
，表示的区域
内任一点，点
是区域
关于直线
的对称区域
内的任一点，则
的最大值为（）
【答案】D
【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点
与点
的对称点
间的距离最大，最大距离就是点
到直线
距离的2倍，联立
，解得：
，点
的距离
，故选D.
7.已知三棱锥
中，
与
是边长为2的等边三角形且二面角
为直二面角，则三棱锥
的外接球的表面积为（）
【解析】如图，取
的中点
，连接
，点
是三棱锥
的外接球的球心，因为棱长都是2，所以
，所以在
，那么外接球的表面积是
【点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：
1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；
2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；
3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.
8.执行如图所示的程序框图（其中
表示
等于
除以10的余数），则输出的
为（）
A.2B.4C.6D.8
时，第一次进入循环，
时，第二次进入循环
时，第三次进入循环，
时，第四次进入循环，
，当
时，第五次进入循环，
时，第六次进入循环，
，由此可知此循环的周期为6，当
时，第2016次进入循环，
，所以此时
，退出循环，输出的
值等于8，故选D.
9.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
【解析】次三视图还原为如图几何体，长方体削下去等高的四棱锥，剩下一个三棱锥和一个三棱柱，
10.已知双曲线
是左焦点，
是右支上两个动点，则
的最小值是（）
A.4B.6C.8D.16
，所以
，当且仅当
三点共线时等号成立，故选C.
11.已知
成等比数列，则
的取值范围是（）
【解析】由已知可知
原式等于
，设
即原式等于
，函数是增函数，当
时，函数等于0，当
时，函数等于
所以原式的取值范围是
【点睛】本题有两个难点，一个是根据正弦定理转化为
，再利用余弦定理求角
的取值范围，二是将
转化为
的函数，最后利用函数的单调性求解，本题考查的三角函数的知识点非常全面，而且运用转化与化归的思想，属于难题了.
12.已知
且
，若当
时，不等式
恒成立，则
【解析】原式等价于
，两边取自然对数得
令
，则
因为
当
时，即
单调递增，当
矛盾；
时，令
，解得
单调递增，
单调递减，
若
，矛盾；
，当
递减，
，成立，
综上，
，最小值为
，故选A.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立的问题，可以通过变形将不等式整理为需要研究的函数，比如本题设
，讨论
的取值范围，使函数满足
，转化为求函数的单调性，根据单调性可求得函数的最值.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.正三角形
的边长为1，
是其重心，则
________.
【答案】
且两向量的夹角为
故填：
14.
的展开式中，
的系数为________.
【答案】56
【解析】原式
其中
只可能出现在
的展开式中，所以
的系数是
故填：
56.
15.已知椭圆
和
是椭圆的左、右焦点，过
的直线交椭圆于
两点，若
的内切圆半径为1，
，则椭圆离心率为________________.
周长为
，又
，故填：
.
16.先将函数
的图象上的各点向左平移
个单位，再将各点的横坐标变为原来的
倍（其中
），得到函数
的图象，若
在区间
上单调递增，则
的最大值为____________.
【答案】9
上单调递增，
所以有
，即
由
可得
，所以正整数
的最大值是9.
【点睛】本题考查了三角函数的图像变换，以及根据函数的性质求解参数的最值，当图像是先平移再伸缩时，注意是
前的系数改变，与
无关，函数在
上单调递增，即先求
的范围，其是函数
单调递增区间的子集，求出
的范围，确定最值......................
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列
是等差数列，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
为递增数列，数列
，求数列
的前
项和
（1）
；
（2）
【解析】试题分析：
（1）根据等差数列的性质，可知
，解出
，得到数列的通项公式；
（2）根据
（1）可知
，求得
，采用错位相减法求和.
试题解析：
（1）由题意得
，公差
为递增数列，则
所以
所以
18.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.
（1）求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；
（2）从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量
，求
的分布列及数学期望.
（1）2.3；
（2）答案见解析.
（1）人均次数等于总的“爱心送考”次数/200；
（2）该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件
，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件
，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件
，“这两人参加次数相同”为事件
，根据事件列式求分布列和数学期望.
由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20，100，80.
（1）该出租车公司司机参加送考的人均次数为：
（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件
则
的分布列：
1
2
的数学期望
19.如图，正方形
交于
点，现将
沿
折起得到三棱锥
分别是
的中点.
（1）求证：
（2）若三棱锥
的最大体积为
，当三棱锥
的体积为
，且二面角
为锐角时，求二面角
的正弦值.
（1）证明见解析；
（1）要证明线线垂直，一般需证明线面垂直，易证
平面
是二面角
的平面角，根据
，可知
是等边三角形，
，以
为原点，
所在直线为
轴，过
且平行于
的直线为
轴，
为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角.
（1）依题意易知
，∴
又∵
（2）当体积最大时三棱锥
的高为
，当体积为
时，高为
，作
于
∴
为等边三角形，∴
重合，即
以
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设
为平面
的法向量，
∵
取
是平面
，取
设二面角
大小为
【点睛】用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．
两种思路：
（1）选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．
（2）建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．
20.已知点
在抛物线
上，
是抛物线上异于
的两点，以
为直径的圆过点
（1）证明：
直线
过定点；
（2）过点
作直线
的垂线，求垂足
的轨迹方程.
（1）代入点的坐标得到抛物线方程
，设直线
，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用
，代入根与系数的关系，求得
，代入直线方程，得到定点；
（2）根据
（1）可知，点
的轨迹满足圆的方程，以
为直径的圆去掉
，写出圆的方程即可.
（1）点
上，代入得
，所以抛物线
的方程为
由题意知，直线
的斜率存在，设直线
，设
联立得
，得
由于
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