生物统计学教案9.docx

生物统计学教案9.docx

《生物统计学教案9.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《生物统计学教案9.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

生物统计学教案9

生物统计学教案

第九章两因素及多因素方差分析

教学时间：

5学时

教学方法：

课堂板书讲授

教学目的：

重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤,掌握混合模型的方差分析，了解多因素的方差分析方法。

。

讲授难点：

固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤

9.1两因素方差分析中的一些基本概念

9.1.1模型类型

交叉分组设计：

A因素的a个水平和B因素的b个水平交叉配合，共构成ab个组合，每一组合重复n次，全部实验共有abn次。

固定模型：

A、B两因素均为固定因素。

随机模型：

A、B两因素均为随机因素。

混合模型：

A、B两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素。

9.1.2主效应和交互作用

主效应：

由于因素水平的改变所造成的因素效应的改变。

A1A2A1A2

B11824B11828

B23844B23022

先看左边的表。

A因素的主效应应为A2水平的平均效应减A1水平的平均效应，B的主效应类似。

当A1B1＋A2B2＝A1B2＋A2B1时，A、B间不存在交互作用。

这里A1B1＋A2B2＝62，A1B2＋A2B1＝62，因此A、B间不存在交互作用。

交互作用：

若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们之间存在交互作用。

现在看右边的表。

A（在B1水平上）＝A2B1－A1B1＝28－18＝10

A（在B2水平上）＝A2B2－A1B2＝22－30＝－8

显然A的效应依B的水平不同而不同，故A、B间存在交互作用。

交互作用的大小为

AB＝（A1B1＋A2B2）－（A1B2＋A2B1）

9.1.3两因素交叉分组实验设计的一般格式

假设A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复包含ab次实验，实验重复n次，总的实验次数为abn次。

以xilk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第k次重复的观测值。

一般格式见下表。

因素Bj=1,2,…,b

B1B2…Bb总计

A1x111x121x1b1

x112x122x1b2

x11nx12nx1bnx1..

因

素A2x211x221x2b1

Ax212x222x2b2

x21nx22nx2bnx2..

Aaxa11xa21xab1

xa12xa22xab2

xa1nxa2nxabnxa..

总计x.1.x.2.x.b.x...

上表中的各种符号说明如下：

A因素第i水平的所有观察值的和，其平均数为

B因素第j水平所有观察值的和，其平均数为

A因素第i水平和B因素的第j水平和所有观察值的和，

其平均数为

所有观察值的总和，其平均数为

关于实验重复的正确理解：

这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。

9.2固定模型

9.2.1线性统计模型

对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此

交互作用的效应也是固定的

εijk是相互独立且服从N（0,σ2）的随机变量。

固定模型方差分析的零假设为：

9.2.2平方和与自由度的分解

与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量平方和之和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。

根据均方的数学期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。

上述各项分别为A因素、B因素、AB交互作用和误差平方和，即：

自由度可做相应的分解：

由此得出各因素的均方：

9.2.3均方期望与统计量F的确定

对上式E（MSA）、E（MSB）和E（MSe）中的第二项，分别记为：

于是：

这时，零假设还可以写为：

用F作为检验统计量，以对A因素的检验为例：

当F>Fα时拒绝H01。

对B因素和AB交互作用的推断类似。

变差来源平方和自由度均方F均方期望

A因素SSAa-1MSAMSA/MSeσ2+bnηα2

B因素SSBb-1MSBMSB/MSeσ2+anηβ2

AB交互作用SSAB（a-1）（b-1）MSABMSAB/MSeσ2+nηαβ2

误差SSeab（n-1）MSeσ2

总和SSTabn-1

两因素固定模型的方差分析表如下：

9.2.4平方和的简易计算法

为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的

其中称为校正项，用C表示。

不论从上式还是前面给出的误差平方和的公式，都可以看出，平方和是通过重复间平方和得到的。

为了得到误差平方和，必须设置重复。

由总平方和减去A因素、B因素和误差平方和之后，所得残余项即交互作用平方和。

如果不设置重复，无法得到误差平方和，其误差平方和是用残余项估计的。

即使实验存在交互作用也无法独立获得，这时的交互作用与误差混杂。

这一点在设计实验时一定要特别注意。

交互平方和：

原料种类

123

温30℃

35℃

度40℃

414923254759504043355350

111325244338333655384744

6222618822181430332619

例为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。

在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一处理都有4次重复。

将每一数据都减去30，列成表9-1。

原料（A）温度（B）xij1xij2xij3xij4xij.xij.2

301119-7-518324556

135-19-17-5-6-472209711

40-24-8-4-12-482304800

30172920107657761630

2351383630900278

40-22-8-12-16-583364948

3013523206137211123

33525817146440961174

4003-4-11-12144146

和84228387366

利用xij.列，列成表9－2

温度（B）

303540xi..xi..2

原118－47－48－775929

料27630－58482304

（A）36154－1211312769

x.j.15547－1188421022

x.j.22402522091392440158

从表9－1中可以计算出：

及由表9－2中可以计算出：

列成方差分析表

变差来源

平方和

自由度

均方

F

原料A

1554.17

2

777.09

12.67**

温度B

3150.58

2

1575.29

25.68**

AB

808.75

4

202.19

3.30*

误差

1656.50

27

61.35

总和

7170.00

35

9.2.5无重复实验时的两因素方差分析

如果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以不设重复（n=1）。

无重复实验的方差分析，只需将前一节公式中所有的n都改为1，即可完成计算。

不同点只是计算更容易一些。

这里不再详述。

9.3随机模型

9.3.1线性统计模型

对于随机模型：

因此，任何观察值的方差

零假设为：

9.3.2均方期望与统计量F的确定

随机模型中各平方和的计算与固定模型一样，这里不再重复。

但均方期望不同，因此检验统计量也不同。

从均方期望中可以看出，交互作用均方是用误差均方检验的，若MSAB不显著，表明它也是误差的估计，应与MSe合并，用合并后的均方对主效应做检验。

合并的方法是若交互作用显著，则可以直接用它检验主效应。

随机模型的方差分析表如下：

随机模型的方差分析表如下：

变差来源

平方和

自由度

均方

F

均方期望

A因素

SSA

a-1

MSA

MSA/MSAB

B因素

SSB

b-1

MSB

MSB/MSAB

A×B

SSAB

（a-1）（b-1）

MSAB

MSAB/MSe

误差

SSe

ab（n-1）

MSe

总和

SST

abn-1

例为了研究不同地块中，施用不同数量的农家肥对作物产量的影响，设计一个两因素实验，实验结果如下：

地块B

一号地

二号地

三号地

施

肥

量

A

100Kg

8.69

8.47

8.80

8.74

9.49

9.37

200Kg

8.88

8.72

9.68

9.54

9.39

9.59

300Kg

10.82

10.86

11.00

10.92

11.07

11.01

400Kg

11.16

11.42

10.97

11.13

11.00

10.90

解：

xijk－9.5,列成表9.1：

施肥量

地块

一

-0.81

-1.03

-1.84

3.3856

1.7170

100

二

-0.70

-0.76

-1.46

2.1316

1.0676

三

-0.10

-0.13

-0.04

0.0196

0.0170

一

-0.62

-0.78

-1.40

1.9600

0.9928

200

二

0.18

0.04

0.22

0.0484

0.0340

三

-0.11

0.09

-0.02

0.0004

0.0202

一

1.32

1.36

2.68

7.1824

3.5920

300

二

1.50

1.42

2.92

8.5204

4.2664

三

1.57

1.51

3.08

9.4864

4.7450

一

1.66

1.92

3.58

12.8164

6.4420

400

二

1.47

1.63

3.10

9.6100

4.8178

三

1.50

1.40

2.90

8.4100

4.2100

13.62

63.5772

32.9218

利用xij列，列成表9.2

地块

一

二

三

施

肥

量

100

-1.84

-1.46

-0.14

-3.44

11.8336

200

-1.40

0.22

-0.02

-1.20

1.4400

300

2.68

2.92

3.08

8.68

75.3424

400

3.58

3.10

2.90

9.58

91.7764

3.02

4.78

5.82

13.62

180.3924

9.1204

22.8484

33.8724

65.8412

由表9.1计算出

由表9.2计算出

方差分析表

变差来源

平方和

自由度

均方

F

施肥量A

22.3360