衡阳联考 湖南衡阳市届高三第二次联考数学理试题 扫描版含答案Word下载.docx
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,化为直角坐标方程为
因为
与
分曲线
所成长度相等的四段弧,所以直线
与圆
相交截得的弦长所对的圆心角是90°
,则圆心到直线的距离,即
即
,即不妨令
,所以
故答案为:
.
12.15由题意得,△ACQ∽△APC∴
=AQ.AP
.设AQ=x,75=3x2,故x=5,AP=3x=15
13.利用均值不等式可求得:
3
14.2i
15.①②③
16.
(1)(0,2) 2分
(2)
3分
(1)∵函数f(x)=-x2+mx+1是区间[-1,1]上的平均值函数,
∴关于x的方程-x2+mx+1=
在(-1,1)内有实数根.
由-x2+mx+1=
⇒x2-mx+m-1=0,解得x=m-1,x=1.
又1∉(-1,1)
∴x=m-1必为均值点,即-1<m-1<1⇒0<m<2.
∴所求实数m的取值范围是0<m<2.
(2)解:
由题知lnx0=
.猜想:
lnx0<
证明如下:
<
,令t=
>1,原式等价于lnt2<t-
2lnt-t+
<
令h(t)=2lnt-t++
,则h′(t)=
,∴h(t)=2lnt-
t+
<h
(1)=0,
得证lnx0<
三、解答题
17.解:
(1)由已知条件,得
又∵
又∵当
时,有
∴曲线段
的解析式为
.
(2)如图,
………
……………………………1分
作
轴于
点,在
中,
…在
中,
∴
…当
时,即
时:
平行四边形面积最大值为
18.解:
(I)设谋节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A,则事件A包括:
该节目可以获2张“获奖”票,或者获3张“获奖”票。
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为
,且三人投票相互没有影响,∴
+
……………………6分
(II)所含“获奖”和“待定”票数之和
的值为0,1,2,3.
;
.……8分
因此
的分布列为
X
1
2
P
…………10分
所以
的数学期望为
.……12分
19.
(1)证:
∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内,∴PA⊥BC
1分
又∵AD⊥平面PBC,BC在平面ABC内
,∴AD⊥BC2分
PA、AD在平面PAB内且相交于A,∴BC⊥平面PAB3分
而PB在平面PAB内,∴BC⊥PB.4分
由
(1)知BC⊥平面PAB,AB在平面PAB内,∴BC⊥AB
∵AD⊥平面PBC,其垂足D落在直线PB上,∴AD⊥PB
设PA=x,则
6分
以
为x轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),Q(1
,1,0),P(0,0,
),C(2,2,0)
设平面PBQ的法向量为n=(x,y,z),则
8分
在Rt△ABD中,
,AB=2,则BD=1
10分
由已知
是平面PBC的法向量
∴二面角Q-PB-C的余弦值为
12分
20解:
(1)(法一)
点
在抛物线
上,
.……………………2分
设与直线
平行且与抛物线
相切的直线
方程为
由
得
,
,得
,则直线
两直线
、
间的距离即为抛物线
上的点到直线
的最短距离,
有
,解得
或
(舍去).
直线
的方程为
,抛物线
.…………………………6分
(法二)
.……2分
设
为抛物线
上的任意一点,点
到直线
的距离为
,根据图象,有
的最小值为
因此,直线
.…………………6分
(2)
的斜率存在,
设直线
,即
设点
的坐标分别为
,则
,…………………………9分
.…10分
,……………………………………………12分
因此,存在实数
,使得
成立,且
.…………………………13分
21.解:
(1)由已知,
①,
②,……………………(1分)
由②可得
③……………………(2分)
将③代入①,得对任意
,有
所以,
是等差数列.………………………(4分)
设数列
的公差为
,……(1分)
,………………………(2分)
.…(4分)
由已知,当
时,
,而
也满足此式.……(5分)
所以数列
的通项公式为:
.………(6分)
(3)由
(2),得
,……………………(1分)
则
,…………(2分)
不等式
化为
,…………………(3分)
(以下有两种解法)
解法一:
不等式化为
,……………………………(4分)
对任意
恒成立.………(5分)
当
时,不满足条件.
时,满足条件.
时,函数
图像的对称轴为直线
关于
递减,只需
,故
.……………………(7分)
综上可得,
的取值范围是
解法二:
恒成立,即
,…(5分)
,任取
,且
递减.……………………(6分)
又
且
恒成立,所以
因此,实数
.………………………(7分)
22.解:
(1)
为奇函数,
………………………………………2分
的值域为
.…………………………………………………3分
(2)①函数
的图象如图
所示,当
时,方程
有三个实根;
只有一个实
根;
有两个实根.
(法一):
只需研究函数
在
上的图象特征.
令
,当
的大致图象如图
所示.
根据图象
可知,当
与函数
的图像仅有一个交点,则函
数
上仅有一个零点,记零点为
分别在区间
上,根据图像
,方程
有两个交点,因此
函数
有两个零点.…………………………………………5分
类似地,当
上仅有零点
,因此函数
这三个零点.………………………………………………………………6分
上有两个零点,一个零点是
,另一个零点在
内,因此函数
有三个零点.…………………………………………………………7分
上有两个零点,且这两个零点均在
有四个零点.………
……………………………………………………8分
上没有零点,因此函数
没有零点.………9分
(法二):
,令
取得极大值
(Ⅰ)当
的极大值
在区间
上无零点,因此函数
无零点.
(Ⅱ)当
,函数
的图像如图
所示,函数
有零点
由图
可知方程
有两不等的实根,因此函数
有两个零点.
(Ⅲ)当
上单调递增,因为
存在唯一零点
,其中
(Ⅳ)当
根据法一中的证明有
(ⅰ)当
所示,
有唯一零点
有两不等的实根,因此
(ⅱ)当
有三个不等的实根,因此函数
有三个零点.
(ⅲ)当
的
图像如图
有两个不等的实根,因此函数
有两个零点.
(ⅳ)当
两个零点,分别是
和
有一个实根
有两个非
的不等实根,因此函数
有三个零点.
(ⅴ)当
有两个
零点
都有两个不等的实根,
且这四个根互不相等,因此函数
有四个零点.
综上可得:
有两个零点;
………………5分
有三个零点;
………………………………7分
当
有四个零点;
……………………………………8分
无零点.……………………………
…………………9分
②因为
是函数
的一个零点,所以有