届高三数学第一轮知识点课后强化训练题21文档格式.docx
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A．4B．3
C．2D．1
[解析] 法一（直接法）集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心（0,0）到直线x＋y＝1的距离d＝
1＝r，所以直线与圆相交，故选C.
法二 （数形结合法）画图可得，故选C.
3．（文）圆x2＋y2＋4y＝0在点P（
，－1）处的切线方程为（ ）
A.
x＋y－2＝0B.
x＋y－4＝0
C.
x－y＋4＝0D.
x－y＋2＝0
[答案] A
[解析] 解法1：
设切线y＋1＝k（x－
），
即kx－y－
k－1＝0.
则圆心（0，－2）到切线距离等于圆的半径2，
∴
＝2，∴k＝－
，
∴切线方程为
x＋y－2＝0.
解法2：
∵切点A（
，－1）与圆心C（0，－2）的连线应与切线垂直．
∴切线斜率k＝－
＝－
∴切线方程为y＋1＝－
（x－
），即
解法3：
，－1）在切线上，
∴排除B、C、D.
（理）已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是（ ）
A．x2＋y2－4x＝0B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0
[解析] 由题意可设圆心坐标为（a,0）（a>
0）由点到直线的距离公式可得
＝2，
解得a＝2或a＝－
（舍去），
故所求圆的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.
4．（2013·
广东高考）垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是（ ）
A．x＋y－
＝0B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋
＝0
[解析] 设直线方程为x＋y＋m＝0，直线与圆相切，则
＝1，m＝－
或m＝
（由直线与圆的切点在第一象限知不合题意，故舍去），所以选A.
5．过圆x2＋y2＝4外一点P（4,2），作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则△PAB的外接圆的方程为（ ）
A．（x－4）2＋（y－2）2＝1B．x2＋（y－2）2＝4
C．（x＋2）2＋（y＋1）2＝5D．（x－2）2＋（y－1）2＝5
[答案] D
[解析] 作图知P、A、B、O四点在以PO为直径的圆上，故圆心为（2,1），半径为r＝
，圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.
6．已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|kx－y≤2}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是（ ）
A．[0，
]B．[－
，0]
C．[－
]D．[－
，＋∞）
[解析] 集合A表示的点集是单位圆上的点，集合B表示的是二元一次不等式kx－y≤2所表示的平面区域，其边界直线是kx－y＝2，该直线必过定点（0，－2），所以要使A⊆B，则圆与直线必须相切或相离，故
≥1，解得－
≤k≤
，故选C.
二、填空题
7．直线y＝x被圆x2＋（y－2）2＝4截得弦长为________．
[答案] 2
[解析] 本题考查直线与圆的知识，画出示意图，
构造直角三角形求解．
由C（0,2）及直线y＝x知，CE＝
，而CO＝2，
则OE＝
∴弦长为2
8．（2013·
山东高考）过点（3,1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想．
点（3,1）在圆内，要使弦长最短，须圆心C（2,2）与点N（3,1）所在直线与弦垂直，此时|CN|＝
，则弦长为2
＝2
9．已知圆C1：
x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：
x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为__________，公共弦长为________．
[答案] 3x－4y＋6＝0
[解析] 设两圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B两点满足方程x2＋y2＋2x－6y＋1＝0与x2＋y2－4x＋2y－11＝0，将两个方程相减得3x－4y＋6＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．易知圆C1的圆心（－1,3），半径r＝3，用点到直线的距离公式可以求得点C1到直线的距离为d＝
所以利用勾股定理得到AB＝2
即两圆的公共弦长为
三、解答题
10．已知圆C：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．
[解析]
（1）由圆C：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，
得圆心坐标C（－1,2），半径r＝
∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零．
设直线l的方程为x＋y＝a，
∵直线l与圆C相切，
∴a＝－1或a＝3.
∴所求直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
（2）∵切线PM与半径CM垂直，设P（x，y），
又∵|PM|2＝|PC|2－|CM|2，|PM|＝|PO|，
∴（x＋1）2＋（y－2）2－2＝x2＋y2，
∴2x－4y＋3＝0，
∴所求点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.
能力强化训练
1．设A为圆（x＋1）2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为（ ）
A．（x＋1）2＋y2＝25 B．（x＋1）2＋y2＝5
C．x2＋（y＋1）2＝25D．（x－1）2＋y2＝5
[解析] 圆心C（－1,0），在Rt△ACP中，
CP＝
设P（x，y），则|CP|＝
，所以（x＋1）2＋y2＝5，选B.
2．直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2＋b2，则
·
（O为坐标原点）等于（ ）
A．－7B．－14
C．7D．14
[解析] 记
的夹角为2θ.
依题意得，圆心（0,0）到直线ax＋by＋c＝0的距离等于
＝1，cosθ＝
，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×
（
）2－1＝－
＝3×
3cos2θ＝－7.
3．已知圆O：
x2＋y2＝5和点A（1,2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
[答案]
[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力．
由题意知切线的斜率存在，设为k，
切线方程为y－2＝k（x－1），即kx－y＋2－k＝0，
由点到直线的距离公式，得
解得k＝－
，∴切线方程为－
x－y＋
＝0，
令x＝0，y＝
，令y＝0，x＝5，
∴三角形面积为S＝
×
5＝
4．圆心在直线x＋y＝0上，且过圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程为________．
[答案] x2＋y2＋6x－6y＋8＝0
[解析] 设圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ（x2＋y2＋2x＋2y－8）＝0，
即x2＋y2＋
x＋
y－
＝0（λ≠－1），
圆心
，∴
－
＝0，解得λ＝－2.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24－2（x2＋y2＋2x＋2y－8）＝0，
即x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
5．已知点P（0,5）及圆Cx2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4
，求l的方程；
（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
[分析]
（1）根据弦长求法，求直线方程中的参数；
（2）由垂直关系找等量关系．
[解析]
（1）解法1：
如图所示，AB＝4
，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2
，AC＝4，
在Rt△ACD中，可得CD＝2.
当直线l斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式：
＝2，得k＝
k＝
时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
当直线l斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5，
联立直线与圆的方程
消去y，得（1＋k2）x2＋（4－2k）x－11＝0，①
设方程①的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得
②
由弦长公式得
|x1－x2|
＝4
将②式代入，解得k＝
此时直线方程为3x－4y＋20＝0.
又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0.
∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），
则CD⊥PD，即
（x＋2，y－6）·
（x，y－5）＝0，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
6．设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足
＝0.
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程．
[解析]
（1）曲线方程为（x＋1）2＋（y－3）2＝9表示圆心为（－1,3），半径为3的圆．
∵点P、Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
∴圆心（－1,3）在直线上，代入得m＝－1.
（2）∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直，
∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程y＝－x＋b
将直线y＝－x＋b代入圆方程，得
2x2＋2（4－b）x＋b2－6b＋1＝0
Δ＝4（4－b）2－4×
2×
（b2－6b＋1）＞0，得
2－3
＜b＜2＋3
由韦达定理得
x1＋x2＝b－4①，x1x2＝
即2x1x2－b（x1＋x2）＋b2＝0
将①②代入得：
b2－6b＋1－b2＋4b＋b2＝0
解得b＝1，经验证知符合题意
∴PQ方程为y＝－x＋1.
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