精品专题训练中考数学抛物线压轴题二次函数与等腰三角形专题训练含答案与试题解析Word文件下载.docx

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（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；

（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；

（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．

5．（2016•新疆）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y

x+1与y轴交于点D．

（2）证明：

△DBO∽△EBC；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？

若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

6．（2018秋•东湖区校级期末）如图，已知二次函数L1：

y＝ax2+2ax+a﹣2（a＞0）和二次函数

L2：

y＝﹣a（x﹣2）2+2（a＞0）图象的顶点分别为M、N，与x轴分别相交于A、B两点

（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边），

（1）函数y＝ax2+2ax+a﹣2（a＞0）的顶点坐标为　　；

当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，x的取值范围是　　；

（2）当AD＝MN时，求a的值，并判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；

（3）当B，C是线段AD的三等分点时，求a的值．

参考答案与试题解析

【解答】解：

（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，

则

，解得

，

故抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；

（2）由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线x

1；

点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接BC交函数对称轴于点P，则点P为所求点，

理由：

△PAC的周长＝AC+PA+PC＝AC+PB+PC＝AC+BC为最小，

设直线BC的表达式为y＝sx+t，则

故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，

当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，故点P（1，2）；

则△PAC的周长最小值＝AC+BC

3

；

（3）设点M（1，m），

由点A、C、M的坐标知，AC2＝10，CM2＝m2﹣6m+10，AM2＝4+m2

①当AC＝CM时，10＝m2﹣6m+10，解得：

m＝0或m＝6（舍去），

②当AC＝AM时，10＝4+m2，解得：

m

或m

③当CM＝AM时，m2﹣6m+10＝4+m2，解得：

m＝1，

检验：

当m＝6时，M、A、C三点共线，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M点有4个，

M坐标为（1，0）、（1，

）、（1，

）、（1，1）．

（1）如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，

∴∠BDO＝90°

∵OA绕点O逆时针旋转120°

至OB，

∴OB＝OA＝4，∠AOB＝120°

，B在第二象限，

∴∠BOD＝60°

∴sin∠BOD

，cos∠BOD

∴BD

OB＝2

，OD

OB＝2，

∴B（﹣2，2

），

设过点A（4，0），B（﹣2，2

），O（0，0）的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，

∴

，解得：

∴抛物线的函数解析式为y

x2

x；

（2）存在△POB为等腰三角形，

∵抛物线与x轴交点为A（4，0），O（0，0），

∴对称轴为直线x＝2，

设点P坐标为（2，p），

则OP2＝22+p2＝4+p2，BP2＝（2+2）2+（p﹣2

）2＝p2﹣4

p+28，

①若OP＝OB＝4，则4+p2＝42

解得：

p1＝2

，p2＝﹣2

当p＝﹣2

时，∠POA＝60°

，即点P、O、B在同一直线上，

∴p≠﹣2

∴P（2，2

②若BP＝OB＝4，则p2﹣4

p+28＝42

p1＝p2＝2

）；

③若OP＝BP，则4+p2＝p2﹣4

p＝2

综上所述，符合条件的点P只有一个，坐标为（2，2

（3）在OA上取点K，使AK＝1，连接CK交圆与点M，连接OM、CM，

此时，MC

OM＝MC+KM＝CK为最小值，

∵AK＝1，MA＝2，OA＝4，

∴AM2＝AK•OA，而∠MAO＝∠OAM，

∴△AKM∽△AMO，∴

即：

MC

OM＝MC+KM＝CK，

CK

5，

OM的最小值为CK＝5．

（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，

故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），

设抛物线的表达式为：

y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：

故抛物线的表达式为：

y

（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AB的表达式为：

x

，故点C（0，

同理可得：

直线OP的表达式为：

y＝﹣x；

①过点D作y轴的平行线交OB于点H，

设点D（x，

x），则点H（x，﹣x），

△BOD面积

DH×

xB

3（

x+x）

x，

∵

，故△BOD面积有最大值为：

，此时x

故点D（

②当OP＝PC时，

则点P在OC的中垂线上，故yP

，则点P（

②当OP＝OC时，

t2+t2＝（

）2，解得：

t

（舍去负值），

故点P（

③当PC＝OC时，同理可得：

点P（

综上，点P（

）或（

）．

【解答】方法一：

解：

（1）∵y＝x2﹣（m+n）x+mn＝（x﹣m）（x﹣n），

∴x＝m或x＝n时，y都为0，

∵m＞n，且点A位于点B的右侧，

∴A（m，0），B（n，0）．

∵m＝2，n＝1，

∴A（2，0），B（1，0）．

（2）∵抛物线y＝x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），

∴﹣1＝mn，

∴n

∵B（n，0），

∴B（

，0）．

∵AO＝m，BO

，CO＝1

∴AC

BC

AB＝AO+BO＝m

∵（m

）2＝（

）2+（

）2，

∴AB2＝AC2+BC2，

∴∠ACB＝90°

．

（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m＝2，

∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．

∴AO＝2，BO＝|n|，CO＝|2n|，

|n|，

AB＝xA﹣xB＝2﹣n．

①当AC＝BC时，

|n|，解得n＝2（A、B两点重合，舍去）或n＝﹣2；

②当AC＝AB时，

2﹣n，解得n＝0（B、C两点重合，舍去）或n

③当BC＝AB时，

|n|＝2﹣n，

当n＞0时，

n＝2﹣n，解得n

当n＜0时，

综上所述，n＝﹣2，

时，△ABC是等腰三角形．

方法二：

（1）略

（2）∵C点的坐标是（0，﹣1），

∴mn＝﹣1，设A（m，0），

，0），

即

∵∠AOC＝∠CBO＝90°

∴△AOC∽△COB，

∴∠ACO＝∠CBO，

（3）∵m＝2，∴mn＝2n，

∴C（0，2n），B（n，0），A（2，0）

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC，

∴（n﹣2）2+（0﹣0）2＝（2﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n1＝0，n2

（n﹣2）2+（0﹣0）2＝（n﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n1

，n2

（2﹣0）2+（0﹣2n）2＝（n﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n1＝2，n2＝﹣2，

经检验n＝0，n＝2（舍）

∴当n＝﹣2，

5．（2016•新疆）如图，抛物线y＝ax2+bx