1、(1)若m2,n1,求A、B两点的坐标;(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,1),求ACB的大小;(3)若m2,ABC是等腰三角形,求n的值5(2016新疆)如图,抛物线yax2+bx3(a0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且BOOC3AO,直线yx+1与y轴交于点D(2)证明:DBOEBC;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由6(2018秋东湖区校级期末)如图,已知二次函数L1:yax2+2ax+a2(a0)和二次函数L2:ya(x2)2+2(a0)图象的顶点分别为
2、M、N,与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边),(1)函数yax2+2ax+a2(a0)的顶点坐标为 ;当二次函数L1,L2的y值同时随着x的增大而增大时,x的取值范围是 ;(2)当ADMN时,求a的值,并判断四边形AMDN的形状(直接写出,不必证明);(3)当B,C是线段AD的三等分点时,求a的值参考答案与试题解析【解答】解:(1)将A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线yax2+bx+c中,则,解得,故抛物线的解析式是yx2+2x+3;(2)由抛物线的表达式知,函数的对称轴为直线x1;点A关于函数对称轴的对称点为点B,连接BC交函数对称轴
3、于点P,则点P为所求点,理由:PAC的周长AC+PA+PCAC+PB+PCAC+BC为最小,设直线BC的表达式为ysx+t,则故直线BC的表达式为yx+3,当x1时,y1+32,故点P(1,2);则PAC的周长最小值AC+BC3;(3)设点M(1,m),由点A、C、M的坐标知,AC210,CM2m26m+10,AM24+m2当ACCM时,10m26m+10,解得:m0或m6(舍去),当ACAM时,104+m2,解得:m或m当CMAM时,m26m+104+m2,解得:m1,检验:当m6时,M、A、C三点共线,不合题意,故舍去;综上可知,符合条件的M点有4个,M坐标为(1,0)、(1,)、(1,)
4、、(1,1)(1)如图1,过点B作BDx轴于点D,BDO90OA绕点O逆时针旋转120至OB,OBOA4,AOB120,B在第二象限,BOD60sinBOD,cosBODBDOB2,ODOB2,B(2,2),设过点A(4,0),B(2,2),O(0,0)的抛物线解析式为yax2+bx+c,解得:抛物线的函数解析式为yx2x;(2)存在POB为等腰三角形,抛物线与x轴交点为A(4,0),O(0,0),对称轴为直线x2,设点P坐标为(2,p),则OP222+p24+p2,BP2(2+2)2+(p2)2p24p+28,若OPOB4,则4+p242解得:p12,p22当p2时,POA60,即点P、O、
5、B在同一直线上,p2P(2,2若BPOB4,则p24p+2842p1p22);若OPBP,则4+p2p24p2综上所述,符合条件的点P只有一个,坐标为(2,2(3)在OA上取点K,使AK1,连接CK交圆与点M,连接OM、CM,此时,MCOMMC+KMCK为最小值,AK1,MA2,OA4,AM2AKOA,而MAOOAM,AKMAMO,即:MCOMMC+KMCK,CK5,OM的最小值为CK5(1)x22x30,则x3或1,故点A、B的坐标分别为(1,1)、(3,3),设抛物线的表达式为:yax2+bx,将点A、B的坐标代入上式得:故抛物线的表达式为:y(2)将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得
6、:直线AB的表达式为:x,故点C(0,同理可得:直线OP的表达式为:yx;过点D作y轴的平行线交OB于点H,设点D(x,x),则点H(x,x),BOD面积DHxB3(x+x)x,故BOD面积有最大值为:,此时x故点D(当OPPC时,则点P在OC的中垂线上,故yP,则点P(当OPOC时,t2+t2()2,解得:t(舍去负值),故点P(当PCOC时,同理可得:点P(综上,点P()或()【解答】方法一:解:(1)yx2(m+n)x+mn(xm)(xn),xm或xn时,y都为0,mn,且点A位于点B的右侧,A(m,0),B(n,0)m2,n1,A(2,0),B(1,0)(2)抛物线yx2(m+n)x+
7、mn(mn)过C(0,1),1mn,nB(n,0),B(,0)AOm,BO,CO1AC BC ABAO+BOm(m)2()2+()2,AB2AC2+BC2,ACB90(3)A(m,0),B(n,0),C(0,mn),且m2,A(2,0),B(n,0),C(0,2n)AO2,BO|n|,CO|2n|,|n|, ABxAxB2n当ACBC时,|n|,解得n2(A、B两点重合,舍去)或n2;当ACAB时,2n,解得n0(B、C两点重合,舍去)或n当BCAB时,|n|2n,当n0时,n2n,解得n当n0时,综上所述,n2,时,ABC是等腰三角形方法二:(1)略(2)C点的坐标是(0,1),mn1,设A(m,0),0),即AOCCBO90AOCCOB,ACOCBO,(3)m2,mn2n,C(0,2n),B(n,0),A(2,0)ABC是等腰三角形,ABAC,ABBC,ACBC,(n2)2+(00)2(20)2+(02n)2,n10,n2(n2)2+(00)2(n0)2+(02n)2,n1,n2(20)2+(02n)2(n0)2+(02n)2,n12,n22,经检验n0,n2(舍)当n2,5(2016新疆)如图,抛物线yax2+bx
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