组合数学课后答案.docx

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组合数学课后答案

作业习题答案

习题二

2.1证明：

在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明：

假设没有人谁都不认识：

那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：

那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

2.3证明：

平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

证明：

方法一：

有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：

（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。

由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明：

存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

方法二：

对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：

（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1），根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。

2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？

证明：

根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。

2.9将一个矩形分成（m+1）行列的网格每个格子涂1种颜色，有m种颜色可以选择，证明：

无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

证明：

（1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。

（2）每列中两个单元格的不同位置组合有种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有种情况

（3）现在有列，根据鸽巢原理，必有两列相同。

证明结论成立。

2.11证明：

从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。

证明：

将S划分为{1,3,5}，{7,9,11}……,{595,597,599}共100组，由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组，即其差最多为4.

2.12证明：

从1~200中任意选取70个数，总有两个数的差是4，5或9。

设从1~200中任意选取的70个数构成一组，即

第一组：

；

第二组：

；

第三组：

；

显然，这三组数均在1~209之间，且共有3*70=210个数，根据鸽巢原理一定有两个数相等，又因为任取的这70个数均不相同，所以这2个相等的数一定来自不同组，根据不同组的分布讨论如下：

1）如果这两个数分别来自第一组和第二组，则有；

2）如果这两个数分别来自第一组和第三组，则有；

3）如果这两个数分别来自第二组和第三组，则有；

得证。

习题三

3.8确定多重集的11-排列数？

3.9求方程，满足的整数解的个数。

3.10架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种？

解：

n=20，r=4，

3.17一局乒乓球比赛中，运动员甲以11:

7战胜运动员乙，若在比赛过程中甲从来没有落后过，求有多少种可能的比分记录？

解：

根据题意，相当于求从点（0,0）到点（11,7）且从下方不穿过y=x的非降路径数，即为：

3.211）会议室中有2n+1个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？

解：

（1）

方法1：

如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。

这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-（n+1）=n个座位任意分到3排中，这样的摆法共有种方案，所以符合题意的摆法有：

方法2：

设第一排座位有x1个，第二排座位有x2个，第三排座位有x3个。

x1+x2+x3=2n+1，且x1+x2≥（2n+1）/2，x1+x3≥（2n+1）/2，x2+x3≥（2n+1）/2，即x1+x2≥n+1，x1+x3≥n+1，x2+x3≥n+1，令y1=x1+x2-n-1，y2=x1+x3-n-1，y3=x2+x3-n-1，可知y1+y2+y3=2（2n+1）-3（n+1）=n-1且yi≥0，1≤i≤3。

显然，x方程满足要求的解与y方程非负整数解一一对应，有

种。

方法3：

要求每行非空

如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。

这相当于将n个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-n=n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空，这样的摆法共有种方案，所以符合题意的摆法有：

（2）会议室中有2n个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？

解：

（2）

方法1：

如果没有附加限制则相当于把2n个相同的小球放到3个不同的盒子里，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n个座位。

这相当于将n个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n-n=n个座位任意分到3排中，这样的摆法共有种方案。

需要注意的是，三排中如果任意两排都是n个座位共有3种情况，这3种情况在中被重复计算了2次，因此需要将重复减去的3次加上。

所以符合题意的摆法有：

方法2：

设第一排座位有x1个，第二排座位有x2个，第三排座位有x3个。

x1+x2+x3=2n，且x1+x2≥n+1，x1+x3≥n+1，x2+x3≥n+1，令y1=x1+x2-n-1，y2=x1+x3-n-1，y3=x2+x3-n-1，可知y1+y2+y3=2（2n）-3n-3=n-3且yi≥0，1≤i≤3。

显然，x方程满足要求的解与y方程非负整数解一一对应，有

种。

方法3：

要求每行非空

如果没有附加限制则相当于把2n个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n个座位。

这相当于将n-1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n-（n-1）=n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空，这样的摆法共有种方案，所以符合题意的摆法有：

3.24n（n≥2）个不同的球分给甲、乙、丙3人，使得甲至少分得两个球，有多少种不同的分法？

解：

3.2524个相同的球分堆，使得每堆的球不少于5，有多少种不同的分堆方法？

方法1：

每堆去掉4个球，剩余球分堆的方法数

其中

习题四

4.3一项对于A,B,C三个频道的收视调查表明，有20%的用户收看A，16%的用户收看B，14%的用户收看C，8%的用户收看A和B，5%的用户收看A和C，4%的用户收看B和C，2%的用户都看。

求不收看A,B,C任何频道的用户百分比？

解：

设性质P1是收看A频道的用户百分比；P2是收看B频道的用户百分比；P3是收看C频道的用户百分比；Ai={x|x∈S∧x具有性质Pi}，i=1,2,3。

S是受调查的所有用户的集合。

；

根据定理4.1.1，有

4.4某杂志对100名大学新生的爱好进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，求有多少人只喜欢看电影？

解：

方法1：

设性质P1喜欢看球赛；P2喜欢看戏剧；P3喜欢看电影。

Ai={x|x∈S∧x具有性质Pi}，i=1,2,3。

S是100名大学新生的集合。

由题意可得，这100名大学生中每人至少有三种兴趣中的一种，

所以可得既喜欢看球赛有喜欢看电影的人有

因此只喜欢看电影的人有

=52-（26+16）+12=22人

方法2：

方法3：

设只喜欢看球赛的人数为x；设只喜欢看电影的人数为y；喜欢看球赛和电影但不喜欢看戏剧的人数为z，则

解得y=22，所以22人只喜欢看电影。

4.5某人有六位朋友，他跟这些朋友每一个都一起吃过晚餐12次，跟他们中任二位一起吃过6次晚餐，和任意三位一起吃过4次晚餐，和任意四位一起吃过3次晚餐，任意五位一起吃过2次晚餐，跟六位朋友全部一起吃过一次晚餐，另外，他自己在外吃过8次晚餐而没碰见任何一位朋友，问他共在外面吃过几次晚餐?

解：

设n为在外面共吃过晚餐的次数，性质Pi（1≤i≤6）表示他和第i位朋友吃过晚餐，Ai（1≤i≤6）表示他和第i位朋友吃过晚餐的次数。

显然满足对称筛公式，其中

由题可得方程：

解得吃饭次数为

4.13计算棋盘多项式R（）。

解：

R（）=x*R（）+R（）=x*（1+3x+x2）+（1+x）*R（）

=x3+3x2+x+（1+x）[xR（）+R（）]

=x3+3x2+x+（1+x）[x（1+x）+（1+4x+2x2）]

=5x3+12x2+7x+1

4.14A,B,C,D,E五种型号的轿车，用红、白、蓝、绿、黑五种颜色进行涂装。

要求A型车不能涂成黑色；B型车不能涂成红色和白色；C型车不能涂成白色和绿色；D型车不能涂绿色和蓝色；E型号车不能涂成蓝色，求有多少种涂装方案？

解：

A

B

C

D

E

红

白

蓝

绿

黑

A

B

C

D

E

蓝

绿

白

红

黑

A

B

3.以n结尾的词，在词后加t。

如：

mean—meant,burn—burnt,learn—learntC

2.以d结尾的词，把d变成t。

如:

build—built,lend—lent,send—sent,spend—spentD

wear穿着worewornE

红

cut割cutcut

know知道knewknown

smell发出气味smeltsmelt

hold拿住heldheld

白

give给gavegiven

saw锯sawedsawed/sawn

blow吹blewblown绿

蓝

黑

1.若未规定不同车型必须涂不同颜色，则：

涂装方案

2.若不同车型必须涂不同颜色，则：

禁区的棋盘多项式为：

R（）

=R（）R（）=（1+x）（xR（）+R（））

=（1+x）（xR（）R（）+R（）R（））

=（1+x）（x（1+2x）2+（1+3x+x2）2）

=1+8x+22x2+25x3+11x4+x5

所以：

N=5!

-r1×4!

+r2×3!

–r3×2!

+r4×1!

-r5×0!

=5！

-8*4！

+22*3！

-25*2！

+11*1！

-1=20

习题五

5.1求如下数列的生成函数。

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

解：

5.3已知数列的生成函数是，求.

5.15知数列{}的指数生成函数是，求。

6.5平面上有n条直线，它们两两相交且沿有三线交于一点，设这n条直线把平面分成个区域，求的递推关系并求解.

解：

设n-1条直线把平面分成个区域，则第n条直