组合数学课后答案.docx

1、组合数学课后答案作业习题答案习题二2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为1,n-1，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为1,n-2，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。证明：方法一：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（

2、偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。方法二：对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到

3、相同的结果？证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。2.9将一个矩形分成(m+1)行列的网格每个格子涂1种颜色，有m种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 种情况 （3）现在有列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。2.11证明：从S=1,3,5,599这300个奇数中任意选取101个数，在所

4、选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。证明： 将S划分为1,3,5，7,9,11, 595,597,599共100组，由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组，即其差最多为4.2.12证明：从1200中任意选取70个数，总有两个数的差是4，5或9。设从1200中任意选取的70个数构成一组，即第一组： ；第二组： ；第三组：；显然，这三组数均在1209之间，且共有3*70=210个数，根据鸽巢原理一定有两个数相等，又因为任取的这70个数均不相同，所以这2个相等的数一定来自不同组，根据不同组的分布讨论如下：1） 如果这两个数分别来自第一组和第二组，则有；2） 如果这两个数分别来

5、自第一组和第三组，则有；3） 如果这两个数分别来自第二组和第三组，则有；得证。习题三3.8 确定多重集的11-排列数？3.9 求方程，满足的整数解的个数。3.10 架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种？解：n=20，r=4，3.17 一局乒乓球比赛中，运动员甲以11:7战胜运动员乙，若在比赛过程中甲从来没有落后过，求有多少种可能的比分记录？解：根据题意，相当于求从点(0,0)到点(11,7)且从下方不穿过y=x的非降路径数，即为：3.21 1)会议室中有2n+1个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？解：(1)方法1：如果没有附加

6、限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-(n+1)=n个座位任意分到3排中，这样的摆法共有种方案，所以符合题意的摆法有：方法2：设第一排座位有x1个，第二排座位有x2个，第三排座位有x3个。x1+x2+x3=2n+1，且x1+x2(2n+1)/2，x1+x3(2n+1)/2，x2+x3(2n+1)/2，即x1+x2n+1，x1+x3n+1，x2+x3n+1，令y1= x1+x2-n-1，y2= x1+x3-n-1，y3= x2+x3-n-1，可知y1+y2+y

7、3=2(2n+1)-3(n+1)=n-1且yi0，1i3。显然，x方程满足要求的解与y方程非负整数解一一对应，有种。方法3：要求每行非空如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当于将n个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-n=n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空，这样的摆法共有种方案，所以符合题意的摆法有：(2)会议室中有2n个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？解：(2)方法1：如果没有附加限制则相当于把2n个相同的小球放到3个不同的盒子里，有种方案

8、，而不符合题意的摆法是有一排至少有n个座位。这相当于将n个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n-n=n个座位任意分到3排中，这样的摆法共有种方案。需要注意的是，三排中如果任意两排都是n个座位共有3种情况，这3种情况在中被重复计算了2次，因此需要将重复减去的3次加上。所以符合题意的摆法有：方法2：设第一排座位有x1个，第二排座位有x2个，第三排座位有x3个。x1+x2+x3=2n，且x1+x2n+1，x1+x3n+1，x2+x3n+1，令y1=x1+x2-n-1，y2=x1+x3-n-1，y3=x2+x3-n-1，可知y1+y2+y3=2(2n)-3n-3=n-3且yi0，1i3。显然，x方

9、程满足要求的解与y方程非负整数解一一对应，有种。方法3：要求每行非空如果没有附加限制则相当于把2n个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n个座位。这相当于将n-1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n-(n-1)=n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空，这样的摆法共有种方案，所以符合题意的摆法有：3.24 n(n2)个不同的球分给甲、乙、丙3人，使得甲至少分得两个球，有多少种不同的分法？解：3.25 24个相同的球分堆，使得每堆的球不少于5，有多少种不同的分堆方法？方法1： 每堆去掉4个球，剩余球分堆的方法数其中习题四4.3 一项对于A

10、,B,C三个频道的收视调查表明，有20%的用户收看A，16%的用户收看B，14%的用户收看C，8%的用户收看A和B，5%的用户收看A和C，4%的用户收看B和C，2%的用户都看。求不收看A,B,C任何频道的用户百分比？解：设性质P1是收看A频道的用户百分比；P2是收看B频道的用户百分比；P3是收看C频道的用户百分比；Ai=x|xSx具有性质Pi，i=1,2,3。S是受调查的所有用户的集合。；根据定理4.1.1，有4.4 某杂志对100名大学新生的爱好进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看

11、电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，求有多少人只喜欢看电影？解：方法1：设性质P1喜欢看球赛；P2喜欢看戏剧；P3喜欢看电影。Ai=x|xSx具有性质Pi，i=1,2,3。S是100名大学新生的集合。由题意可得，这100名大学生中每人至少有三种兴趣中的一种，所以可得既喜欢看球赛有喜欢看电影的人有 因此只喜欢看电影的人有=52-(26+16)+12=22人方法2：方法3：设只喜欢看球赛的人数为x；设只喜欢看电影的人数为y；喜欢看球赛和电影但不喜欢看戏剧的人数为z，则解得y=22，所以22人只喜欢看电影。4.5 某人有六位朋友，他跟这些朋友每一个都一起吃过晚餐12次，跟他们中任二位

12、一起吃过6次晚餐，和任意三位一起吃过4次晚餐，和任意四位一起吃过3次晚餐，任意五位一起吃过2次晚餐，跟六位朋友全部一起吃过一次晚餐，另外，他自己在外吃过8次晚餐而没碰见任何一位朋友，问他共在外面吃过几次晚餐?解：设n为在外面共吃过晚餐的次数，性质Pi(1i6)表示他和第i位朋友吃过晚餐，Ai(1i6)表示他和第i位朋友吃过晚餐的次数。显然满足对称筛公式，其中由题可得方程：解得吃饭次数为4.13 计算棋盘多项式R()。解：R() = x*R()+R() =x*(1+3x+x2)+(1+x)*R( ) = x3+3x2+x+(1+x)xR()+R() = x3+3x2+x+(1+x)x(1+x)+

13、(1+4x+2x2) = 5x3+12x2+7x+14.14 A,B,C,D,E五种型号的轿车，用红、白、蓝、绿、黑五种颜色进行涂装。要求A型车不能涂成黑色；B型车不能涂成红色和白色；C型车不能涂成白色和绿色；D型车不能涂绿色和蓝色；E型号车不能涂成蓝色，求有多少种涂装方案？解：ABCDE红白蓝绿黑ABCDE蓝绿白红黑AB3. 以n结尾的词，在词后加t。如：meanmeant, burnburnt, learnlearntC2. 以d结尾的词，把d变成t。如:buildbuilt, lendlent, sendsent, spendspentDwear 穿着 wore wornE红cut 割

14、cut cutknow 知道 knew knownsmell 发出气味 smelt smelthold 拿住 held held白give 给 gave givensaw 锯 sawed sawed / sawnblow 吹 blew blown绿蓝黑1.若未规定不同车型必须涂不同颜色，则：涂装方案2.若不同车型必须涂不同颜色，则：禁区的棋盘多项式为：R()=R()R()=(1+x)(xR()+R()=(1+x)(xR()R()+R()R()=(1+x)(x(1+2x) 2+(1+3x+x2)2)=1+8x+22x2+25x3+11x4+x5 所以： N =5!-r14!+r23!r32!+r41!- r50! =5！-8*4！+22*3！-25*2！+11*1！-1=20习题五5.1 求如下数列的生成函数。（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）；解：5.3 已知数列的生成函数是，求.5.15 知数列的指数生成函数是，求。6.5 平面上有n条直线，它们两两相交且沿有三线交于一点，设这n条直线把平面分成个区域，求的递推关系并求解.解：设n-1条直线把平面分成个区域，则第n条直