专题培优 八年级数学上册 轴对称与等腰三角形 培优专题含答案Word格式.docx

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MN⊥BD.

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

，分别过B、C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E、F．

（1）如图

（1），过A的直线与斜边BC不相交时，求证：

①△ABE≌△CAF；

②EF=BE+CF

（2）如图

（2），过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，试求EF的长．

已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°

，点D是AB的中点，点E是AB边上一点.

（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：

AE=CG；

（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并说明理由.

如图，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD=CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，求证：

FG=BF+CG．

如图,在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG.求证：

（1）AD=AG;

（2）AD与AG的位置关系如何?

并证明你的结论.

如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F,CH⊥AD于H点．

（1）求证：

AD=CE；

（2）求证:

CF=2FH．

如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点.

DF=EF.

（2）试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由.

数学课

上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论:

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AEDB（填“>

”,“<

”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目:

解：

题目中，AE与DB的大小关系是：

理由如下：

如图2，过点E作EF//BC，交AC于点F．（请你接着完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为3，AE=1，则CD的长为（请你直接写出结果）．

如图，在等边三角形ABC中，点M是BC边上的任意一点（不与端点重合），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN．

（1）求∠ACN的度数．

（2）若点M在△ABC的边BC的延长线上，其他条件不变，则∠ACN的度数是否发生变化？

（直接写出结论即可）

已知点A、C、B在同一条直线上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.

（1）AE=BD；

（2）△CMN为等边三角形

如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别

从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（2）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？

若变化，则说明理由；

若不变，请求出它的度数．

已知，如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°

①AC=BD；

②∠APB=50°

；

（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为，∠APB的大小为

【专题培优】2018年八年级数学上册轴对称与等腰三角形培优专题（含答案）答案解析

一、解答题

（1）50 

（2）①∵MN垂直平分AB.∴NB=NA，又∵△NBC的周长是14cm，∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm. 

②当点P与点N重合时，由点P、B、C构成的△PBC的周长值最小，最小值是14cm. 

【解答】解；

△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°

．

在△ABD和△BCE中，

，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE．

由三角形弯角的性质得∠AFE=∠BAF+∠ABF，∠AFE=∠CBE+∠ABF=60°

（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，

连接C′D交AB于点P.则点P就是所要求作的点.

理由：

在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′.

∵C和C′关于直线l对称，∴PC=PC′，P′C=P′C′，

而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′

∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长；

（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，

则点E，F就是所要求作的点.

在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，

∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，

∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，

∴CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，′∴PE+EF+PF＜PE′+PF′+E′F′；

（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，

由

（2）得知MN+ME+EF+MF＜ME′+E′F′+F′D.

证明：

∵BC⊥a，DE⊥b，点M是EC的中点，∴2DM=EC，2BM=EC，∴DM=BM，

∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD．

【解答】

（1）证明：

①∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠CFA=90°

，∴∠EAB+∠EBA=90°

，

∵∠BAC=90°

，∴∠EAB+∠FAC=90°

，∴∠EBA=∠FAC，

在△AEB与△CFA中

∴△ABE≌△CAF（AAS），

②∵△ABE≌△CAF，∴EA=FC，EB=FA，∴EF=AF+AE=BE+CF；

（2）解：

∵BE⊥AF，CF⊥AF∴∠AEB=∠CFA=90°

∴∠EAB+∠EBA=90°

∴∠EAB+∠FAC=90°

∴∠EBA=∠FAC，

∴EA=FC，EB=FA，∴EF=FA﹣EA=EB﹣FC=10﹣3=7．

∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°

，∠CAD=∠CBD=45°

，∴∠CAE=∠BCG.

又BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF=90°

，又∵∠ACE＋∠BCF=90°

，∴∠ACE=∠CBG，∴△AEC≌△CGB，∴AE=CG.

BE=CM.理由：

∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA＋∠MCH=90°

，∠BEC＋∠MCH=90°

，∴∠CMA=∠BEC.又∵CA=BC，∠ACM=∠CBE=45°

，∴△BCE≌△CAM，∴BE=CM.

解答：

在BC上截取GH=GC，连接EH，

∵EG⊥BC，GH=GC，∴EH=EC，∴∠EHC=∠C，

又AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠EHC=∠ABC，

∴EH∥AB，∴∠DBF=∠EHF，∠D=∠DEH，

又EH=EC=BD，

∴△BDF≌△HEF，∴BF=FH，

∴FG=FH+HG=BF+GC．

∵BE⊥AC∴∠AEB＝90∴∠ABE+∠BAC＝90

∵CF⊥AB∴∠AFC＝∠AFG＝90

∴∠ACF+∠BAC＝90,∠G+∠BAG＝90∴∠ABE＝∠ACF

∵BD＝AC,CG＝AB∴△ABD≌△GCA（SAS）∴AG＝AD

2、AG⊥AD

证明:

∵△ABD≌△GCA∴∠BAD＝∠G

∴∠GAD＝∠BAD+∠BAG＝∠G+∠BAG＝90

∴AG⊥AD

略

（1）=;

（2）=

在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°

，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°

=∠BAC，

∴AE=AF=EF，∴AB－AE=AC－AF，即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°

，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°

∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，

∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．

（3）1或3.

（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形∴AC=DC，EC=BC，∠1=∠2=60°

∵∠ACE=∠1+∠3,∠DCB=∠2+∠3∴∠ACE=∠DCB．

在△ACE和△DCB中，AC=DC，∠ACE=∠DCB，EC=BC

∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB.

（2）由

（1）可知：

△ACE≌△DCB∴∠CAE=∠CDB即∠CAM=∠CDN

∵△DAC、△EBC均是等边三角形∴AC=DC，∠1=∠2=60°

又∵点A、C、B在同一条直线上∴∠1+∠2+∠3=180°

∴∠3=60°

∴∠1=∠3

在△ACM和△DCN中，∠CAM=∠CDN，AC=DC，∠1=∠3

∴△ACM≌△DCN（ASA）∴CM=CN

∵∠3=60°

∴△CMN为等边三角形

【解答】证明：

（1）∵∠AOB=∠COD=50°

，∴∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=50°

AC=BD，∠APB=α，理由是：

）∵∠AOB=∠COD=50°

根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=α，

故答案为：

AC=BD，α．