四川省资阳市学年高二上学期期末质量检测数学理 Word版试题及答案Word格式文档下载.docx
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是三个
不同的平面,给出下列四个命题:
①若
;
②若
③若
是两条异面直线,
且
④若
其中正确命题的序号是
(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④
6.若命题“
,使得
”为假命题,则实数
的取值范围是
7.如图,在四棱锥
中,底面
是矩形,
底面
,
是
的中点,
,则异面直线
与
所成的角的大小为
8.执行如图所示的程序框图,在集合
中随机地取一个数值作为
输入,则输出的
值落在区间
内的概率为
9.在平面直角坐标系
中,圆
的方程为
,若直线
上至少存在一点,使得以该点为圆心,
为半径的圆与圆
有公共点,则
10.如图所示,五面体
中,正
的边长为
平面
,且
.设
与平面
所成的角为
,若
,则当
取最大值时,平面
所成角的正切值为
资阳市2014—2015学年度高中二年级第一学期期末质量检测
理科数学
第二部分(非选择题共100分)
题号
二
三
总分
总分人
16
17
18
19
20
21
得分
1.第二部分共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案直接填在题中横线上.
11.在“2013唱响资阳”电视歌手大赛中,七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图如右图所示,则甲、乙两名选手得分的中位数之和为.
12.执行如图所示的程序后,输出的i的值为.
13.在样本频率分布直方图中,共有
个小长方形,若最中间一个小长方形的面积等于其它
个小长方形的面积之和的
,且样本容量为
,则最中间一组的频数为___.
14.已知关于
的二次函数
,设集合
,分别从集合
和集合
中随机取一个数记为
和
,则函数
在
上是增函数的概率为_________.
15.已知矩形
的长
,宽
,将其沿对角线
折起,得到四面体
,如图所示,
给出下列结论:
①四面体
体积的最大值为
②四面体
外接球的表面积恒为定值;
分别为棱
的中点,则恒有
④当二面角
为直二面角时,直线
所成角的余弦值为
⑤当二面角
的大小为
时,棱
的长为
.
其中正确的结论有(请写出所有正确结论的序号).
三、解答题:
(本题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16.(本题满分12分)
在正方体
中,
是底面
对角线的交点.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求直线
所成的角.
17.(本题满分12分)
设
实数
满足
,其中
.
(Ⅰ)若
为真,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若
的充分不必要条件,求实数
的取值范围.
18.(本题满分12分)
如图所示,等腰梯形
的底边
轴上,顶点
与顶点
关于原点
对称,且底边
的长分别为
,高为
.
(Ⅰ)求等腰梯形
的外接圆
的方程;
(Ⅱ)若点
的坐标为
,点
在圆
上运动,
求线段
的中点
的轨迹方程.
19.(本题满分12分)
某高校在
年的自主招生考试成绩中随机抽取
名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下表所示.
组号
分组
频数
频率
第
组
合计
(Ⅰ)求频率分布表中
的值,并补充完整相应的频率分布直方图;
(Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第
组中用分层抽样的方法抽取
名学生进入第二轮面试,则第
组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定从
名学生中随机抽取
名学生接受甲考官的面试,求第
组至少有
名学生被甲考官面试的概率.
20.(本题满分13分)
如图,正四棱锥
的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的
倍,点
在侧棱
上,且
(Ⅱ)求二面角
的大小;
(Ⅲ)侧棱
上是否存在一点
若存在,求
的值;
若不存在,试说明理由.
21.(本题满分14分)
已知点
到点
的距离是点
的距离的
倍.
(Ⅰ)求点
的轨迹方程;
与点
关于点
对称,点
,求
的最大值和最小值.
(Ⅲ)若过点
的直线交第(Ⅱ)问中的点
的轨迹于
两点,且
的取值范围.
(Ⅱ)
【解】如图,连接,由(Ⅰ)知,平面.
∴为在平面内的射影.
∴为直线与平面所成的角.8分
在中,∵,
∴,10分
又∵,∴,
∴直线与平面所成的角为.12分
【说明】该题用向量法解答可参照评分标准相应给分。
17.【解】
(Ⅰ)当时,实数满足,1分
∵为真,∴,4分
∴实数的取值范围为.5分
(Ⅱ)设,6分
∵是的充分不必要条件,,∴,11分
∴实数的取值范围为.12分
18.【解】
(Ⅰ)设,
由已知可得:
,2分
由得:
,4分
∴圆的圆心为,半径为,
∴圆的方程为:
.6分
(Ⅱ)设,7分
∵为线段的中点,∴,9分
代入点所在圆的方程得:
,11分
∴点的轨迹方程为.12分
19.【解】
(Ⅰ)由题意可知:
第组的频数为,
第组的频率为.2分
频率分布直方图如图所示:
4分
(Ⅱ)因为第组共有名学生,所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生,
每组分别为:
第组:
名,第组:
名,
所以第组分别抽取名、名、名.7分
(Ⅲ)设第组的名学生分别为,第组的名学生分别为,第组的名学生为,则从名学生中抽名学生有如下种可能:
9分
其中第组的名学生至少有位学生入选的有
种可能,11分
所以第组的名学生至少有名学生被甲考官面试的概率为.12分
【说明】该题用其它解法可参照评分标准相应给分。
20.连接交于,
∵四棱锥是正四棱锥,且底面是正方形,
∴,
所以建立如图所示的直角坐标系.1分
设,由已知可得:
,
所以2分
设,则
∵,∴,
∴,∴.3分
(Ⅰ)
【证明】∵,
∴,∴.5分
【解】设为平面的一个法向量,则:
∴,7分
令,得:
,显然为平面的一个法向量,
设二面角的大小为,则,
又由图可知二面角为锐二面角,所以,∴.
所以二面角的大小为.9分
(Ⅲ)
【解】假设在侧棱上存在一点,使得平面.
由,得:
由(Ⅱ)知,为平面的一个法向量,
∵平面,∴,即:
即:
,∴,
所以当时,平面.13分
【说明】该题用几何法解答可参照评分标准相应给分。
21.【解】
(Ⅰ)设点,由题意可得:
,即
所以点的轨迹方程为.4分
(Ⅱ)设,由题可得,,
代入上式消去可得:
即的轨迹方程为,6分
即.
令
,所以,
由已知可知:
直线与圆有公共点,
所以,
因此,的最大值为,最小值为.9分