九年级中考二轮专题解直角三角形专题Word格式.docx

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【精彩知识】

考点1:

有关三角函数的重要概念

【例1】

（1）如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，线段AB与CD相交于P,则tan∠BPD的值为。

（2）已知△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA=

，tanB=2,AB=29cm,则

=.

变式训练：

1.（泰安市）直角三角形纸片的两直角边长分别为

6，8，现将

如图那样折叠，使点

与点

重合，折痕为

，则

的值是（）

A．

B．

C．

D．

2.如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°

，∠ABC的平分线BD交AC

于点D，则AD的长是，cosA的值是．（结果保留根号）

考点2:

有关三角函数的计算

【例2】已知α是锐角，且sin（α+15°

）=

，计算

的值。

计算：

考点3:

锐角三角函数之间的关系及三角函数增减性

【例3】若0°

<

α<

45°

且sinαcosα=

则sinα的值为。

1．已知

为锐角，下列结论：

<

2>

如果

，那么

3>

<

4>

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.已知m为实数，且sinα、cosα是方程

的两根，则

的值为。

考点4:

解直角三角形

【例4】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°

且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.

（1）求证：

DC=BC；

（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

（3）在

（2）的条件下，当BE：

CE=1：

2，∠BEC=135°

时，求sin∠BFE的值.

【例5】如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°

，然后沿坡角为30°

的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°

，求山AB的高度．（参考数据：

≈1.73）

【例6】如图，在某海域内有三个港口

、

．港口

在港口

北偏东

方向上，港口

北偏西

方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东

的方向驶离

港口3小时后到达

点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在

处测得港口

在

处的南偏东

方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在

处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？

并指出此时船的航行方向．

如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°

方向，且与O相距

千米的A处；

经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．

（1）求该轮船航行的速度；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？

请说明理由．（参考数据：

，

）

【能力拓展】

【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为

与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝

。

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？

若存在，求出点P的坐标：

若不存在，请说明理由；

（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?

向下最多可平移多少个单位长度?

【例8】

（1）如图①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC。

若∠ABC=∠BEF=60°

，试探究PG与PC的位置关系及

的值；

（2）将图①中的菱形BEFG绕B点顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图②），

（1）中的两个结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明；

（3）在图①中若∠ABC=∠BEF=2α（0°

90°

），将菱形BEFG绕B点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变请直接写出

=（用含α的式子表示）

图①图②

【以练励学】

1．如图,Rt△ABC中,∠C=90°

AC=BC,AC=6,D是AC上一点,

tan∠DBA=

则AD的长为（）

A.

B.2C.1D.2

2、小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、C在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°

，∠C=45°

，∠E=60°

，量得DE=8，试求BD的长。

3、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。

如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°

，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°

请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.

（参考数据：

sin36°

≈0.59，cos36°

≈0.81，tan36°

≈0.73，sin72°

≈0.95，cos72°

≈0.31，tan72°

≈3.08）

β

4、我市在规划沿江新城期间，欲拆江岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD＝14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2（即tan∠CDF=2），岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°

，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？

（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区）

5、在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知

，连结DE与AF交于点P,连结CP.

（1）如图1，当k=1时，点B、C、E在一条直线上，求

（2）如图2，当k=1，并将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一定的角度时，

①求

②求证：

CP⊥AF。

（3）如图3，当k≠1时，请直接写出

的值（用含k的式子表示）。

图1图2图3

【例5】解：

过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，

在Rt△DEC中，∠DCE=30°

，CD=100，

∴DE=50，CE=50

在Rt△ABC中，∠ACB=45°

，∴BC=x。

则AF=AB－BF=AB－DE=x－50，DF=BE=BC＋CE=x＋50

在Rt△AFD中，∠ADF=30°

，tan30°

=

，∴

∴

（米）。

答：

山AB的高度约为236.5米。

变式：

解：

（1）过点A作AC⊥OB于点C。

由题意，得

OA=

千米，OB=20千米，∠AOC=30°

（千米）。

∵在Rt△AOC中

OC=OA•cos∠AOC=

（千米），

∴BC=OC﹣OB=30﹣20=10（千米）。

∴在Rt△ABC中，

∴轮船航行的速度为：

（千米/时）。

【例7】解：

（1）在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝

，∴点E（0，

设直线AC的函数解析式为y＝kx＋

，有

，解得：

k＝

∴直线AC的函数解析式为y＝

（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝

设EG＝3t，OG＝5t，

，得t＝2。

∴EG＝6，OG＝10。

/

（3）存在。

①当点Q在AC上时，点Q即为点G，

如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，

由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，

由于点P1在直线AC上，当x＝10时，

y＝

∴点P1（10，

）。

②当点Q在AB上时，如图2，有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a，

则BH＝QH＝14－a，

在Rt△OQH中，a2＋（14－a）2＝100，

解得：

a1＝6，a2＝8，∴Q（－6，8）或Q（－8，6）。

连接QF交OP2于点M．

当Q（－6，8）时，则点M（2，4）；

当Q（－8，6）时，则点M（1，3）。

设直线OP2的解析式为y＝kx，则2k＝4，k＝2。

∴y＝2x。

解方程组

，得

∴P2（

）；

当Q（－8，6）时，则点M（1，3）．同理可求P2′（

综上所述，满足条件的P点坐标为

（10，

）或（