人教版初一数学上册知识点Word格式文档下载.docx
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0℃以及有些题目中的基准,比如以海平面为基准,则0米就表示海平面。
有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:
只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
③整数也能化成分数,也是有理数
引入负数以后,奇数和偶数的围也扩大了,像-2,-4,-6,-8?
也是偶数,-1,-3,-5?
也是奇数。
2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
⑵按正、负来分
有理数0(0不能忽视)
负整数
分数负有理数负分数
总结:
①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
想一想:
零是整数吗?
自然数一定是整数吗?
自然数一定是正整数吗?
整数一定是自然数吗?
零是整数;
自然数一定是整数;
自然数不一定是正整数,因为零也是自然数;
整数不一定是自然数,因为负整数不是自然数。
判断正误:
①不带“-”号的数都是正数()
②如果a是正数,那么-a一定是负数()
③不存在既不是正数,也不是负数的数()
④0℃表示没有温度()
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;
⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;
⑶同一数轴上的单位长度要统一;
⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>
0表示a是正数;
反之,a是正数,则a>
0;
⑵a<
0表示a是负数;
反之,a是负数,则a<
⑶a=0表示a是0;
反之,a是0,,则a=0
1、填空
①规定了唯一的原点、正方向和单位长度(三要素)的直线叫做数轴。
②比-3大的负整数是_______;
已知m是整数且-4<
m<
3,则m为___________。
③有理数中,最大的负整数是____,最小的正整数是____。
最大的非正数是____。
④与原点的距离为三个单位的点有____个,他们分别表示的有理数是________。
2、请画一个数轴,并检查它是否具备数轴三要素。
3、选择题
①在数轴上,原点及原点左边所表示的数是()
A.整数B.负数C.非负数D.非正数
②下列语句中正确的是()
A.数轴上的点只能表示整数B.数轴上的点只能表示分数
C.数轴上的点只能表示有理数
D.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
⑴相反数是成对出现的;
⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它本身;
相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个;
⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;
互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。
0的相反数对应原点;
原点表示0的相反数。
说明:
在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:
5的相反数是-5);
⑵求多个数的和或差的相反数时,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;
5a+b的相反数是-(5a+b)。
化简得-5a-b);
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:
-5的相反数是-(-5),化简得5。
5.相反数的表示方法
⑴一般地,数a的相反数是-a,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。
当a>
0时,-a<
0(正数的相反数是负数)
当a<
0时,-a>
0(负数的相反数是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
①-2的相反数是;
它的倒数是;
它的绝对值是。
②|-3|的相反数是;
③相反数是它本身的数是0;
倒数是它本身的数是1和-1;
绝对值是它本身的数是非负数。
2、选择
①若a和b是互为相反数,则a+b=()
A、–2aB、2bC、0D、任意有理数
②下列说确的是()
A、–1/4的相反数是0.25B、4的相反数是-0.25
C、0.25的倒数是-0.25D、0.25的相反数的倒数是-0.25
③用-a表示的数一定是()
A、负数B、正数C、正数或负数D、都不对
④一个数的相反数是最小的正整数,那么这个数是()
A、–1B、1C、±
1D、0
3、判断
①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁()
②在一个数前面添上“-”号,它就成了一个负数()
③只要符号不同,这两个数就是相反数()
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身;
⑵一个负数的绝对值是它的相反数;
⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为:
①如果a>
0,那么|a|=a;
②如果a<
0,那么|a|=-a;
③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为
①:
a≥0,<
═>
|a|=a(非负数的绝对值等于本身;
绝对值等于本身的数是非负数。
)
②a≤0,<
|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;
绝对值等于其相反数的数是非正数。
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。
所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。
即:
⑴0的绝对值是0;
绝对值是0的数是0.即:
a=0<
|a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:
|a|≥0;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。
|a|≥a;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。
若|x|=a(a>
0),则x=±
a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。
|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。
|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。
即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:
若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
经典考题
已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值
解:
因为|a+3|≥0,|2b-2|≥0,|c-1|≥0,且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0
所以|a+3|=0,|2b-2|=0,|c-1|=0
即a=-3,b=1,c=1
所以a+b+c=-3+1+1=-1
1、化简
(1)-|-2/3|=_____;
(2)|-3.3|-|+4.3|=___;
(3)1-|-1/2|=___;
(4)-1-|1-1/2|=______。
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:
数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:
两个负数比较大小,绝对值大的反而小;
异号两数比较大小,正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时,|a|=a;
②当a≤0时,|a|=-a
6.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。
|a|=5,则a=土5
有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
⑶互为相反数的两数相加,和为零;
⑷一个数与零相加,仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律:
a+b=b+a
⑵加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大;
加负数后的和比原数小;
加0后的和等于原数。
⑴当b>
0时,a+b>
a⑵当b<
0时,a+b<
a⑶当b=0时,a+b=a
4.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
用字母表示为:
a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法:
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:
Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)
Ⅱ.把和为整数的加数相结合(凑整法)
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)
Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)
填空题。
①若|a|=3,则a=____;
|a+1|=0,则a=____。
②若|a-5|+|b+3|=0,则a=___,b=___。
③若|x+2