人教版高中数学二轮复习习题第四周 函数的单调性和奇偶性Word格式.docx

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（2）保证各段上同增（减）时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；

（3）弄清最终结果取并还是交．

5．定义法证明其在某区间上的单调性步骤：

取值、作差或作商、变形、判断．

6．奇偶性定义

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）是偶函数，偶函数图象关于y轴对称．

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数，奇函数图象关于原点对称．

7．奇、偶函数的有关性质：

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；

反之亦然．

（3）若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则f（0）＝0.

（4）利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；

利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．

典型例题剖析

例1　判断函数f（x）＝x＋

（a>

0）在（0，＋∞）上的单调性．

【解析】设0<

x2<

x1，则f（x1）－f（x2）

＝

－

＝（x1－x2）＋

＝（x1－x2）

.

当0<

x1≤

时，x1－x2>

0,1－

<

0，

有f（x1）－f（x2）<

0，即f（x1）<

f（x2），

此时，函数f（x）＝x＋

0）是减函数；

当

≤x2<

x1时，x1－x2>

>

有f（x1）－f（x2）>

0，即f（x1）>

0）是增函数．

综上可知，函数f（x）＝x＋

0）在（0，

]上为减函数；

在[

，＋∞）上为增函数．

【小结】用定义法证明函数单调性时，要善于对表达式进行合适的变形，如：

通分、因式分解等，同时要注意一些常见公式的运用，如平方差公式：

a2－b2＝（a＋b）（a－b），立方和公式：

a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2），立方差公式a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）等．

变式训练　若f（x）＝

在区间（－2，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】设－2<

x1，则f（x1）>

而f（x1）－f（x2）＝

则2a－1>

0，得a>

例2　设偶函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，且f

（2）＝0，则不等式

0的解集为（　　）

A．（－2,0）∪（2，＋∞）

B．（－∞，－2）∪（0,2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－2,0）∪（0,2）

【答案】B

【解析】∵f（x）为偶函数，∴

0.

∴xf（x）>

∴

或

又f（－2）＝f

（2）＝0，f（x）在（0，＋∞）上为减函数，

故x∈（0,2）或x∈（－∞，－2）．

变式训练　已知定义在R上的奇函数满足f（x）＝x2＋2x（x≥0），若f（3－a2）>

f（2a），则实数a的取值范围是________．

（－3,1）

【解析】因为f（x）＝x2＋2x在[0，＋∞）上是增函数，又因为f（x）是R上的奇函数，所以函数f（x）是R上的增函数，要使f（3－a2）>

f（2a），

只需3－a2>

2a，解得－3<

a<

1.

例3　若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且f

＝f（x）－f（y）．

（1）求f

（1）的值；

（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f

2.

【解析】

（1）在等式中令x＝y≠0，则f

（1）＝0.

（2）在等式中令x＝36，y＝6则f

＝f（36）－f（6），

f（36）＝2f（6）＝2，

故原不等式等价于f（x＋3）－f

f（36），

即f

又f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

故原不等式等价于

，

即x∈（0，

）．

变式训练　定义在R上的函数f（x）满足：

对任意实数m，n，总有f（m＋n）＝f（m）·

f（n），且当x>

0时，0<

f（x）<

（1）试求f（0）的值；

（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论．

（1）在f（m＋n）＝f（m）·

f（n）中，令m＝1，n＝0，

得f

（1）＝f

（1）·

f（0）．

因为f

（1）≠0，所以f（0）＝1.

（2）任取x1，x2∈R，且x1<

x2.

在已知条件f（m＋n）＝f（m）·

f（n）中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为f（x2）＝f（x1）·

f（x2－x1）．

由于x2－x1>

0，所以0<

f（x2－x1）<

为比较f（x2），f（x1）的大小，只需考虑f（x1）的正负即可．

在f（m＋n）＝f（m）·

f（n）中，令m＝x，n＝－x，

则得f（x）·

f（－x）＝1.

因为当x>

1，

所以当x<

0时，f（x）＝

1>

又f（0）＝1，

所以综上可知，对于任意的x1∈R，

均有f（x1）>

所以f（x2）－f（x1）＝f（x1）[f（x2－x1）－1]<

所以函数f（x）在R上单调递减．

跟踪训练

1．设f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）内是增函数，又f（－3）＝0，则x·

0的解集是（　　）

A．{x|－3<

x<

0或x>

3}

B．{x|x<

－3或0<

C．{x|x<

－3或x>

D．{x|－3<

0或0<

2．下列函数中，既是偶函数又在区间（－∞，0）上单调递增的是（　　）

A．f（x）＝

B．f（x）＝x2＋1

C．f（x）＝x3D．f（x）＝2－x

3．若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则一定成立的是（　　）

A．函数f[g（x）]是奇函数

B．函数g[f（x）]是奇函数

C．函数f[f（x）]是奇函数

D．函数g[g（x）]是奇函数

4．如果奇函数f（x）在区间[2,6]上是增函数，且最小值为4，则f（x）在[－6，－2]上是（　　）

A．最大值为－4的增函数

B．最小值为－4的增函数

C．最小值为－4的减函数

D．最大值为－4的减函数

5．已知函数y＝f（x）＋x3为偶函数，且f（10）＝10，若函数g（x）＝f（x）＋4，则g（－10）＝__________.

6．已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f

（2）＝0.若f（x－1）>

0，则x的取值范围是________．

7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（－1）＝0，若不等式

0对区间（－∞，0）内任意的两个不相等的实数x1，x2都成立，则不等式xf（2x）<

0的解集是________．

8．设函数f（x）＝

，g（x）＝x2f（x－1），则函数g（x）的递减区间是________．

9．已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________．（填写序号）

①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）

②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）

③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）

④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）

10．已知f（x）＝

（x≠a）．

（1）若a＝－2，试证明f（x）在（－∞，－2）内单调递增；

（2）若a>

0且f（x）在（1，＋∞）内单调递减，求a的取值范围．

11．设f（x）＝log

为奇函数，a为常数．

（1）求a的值；

（2）证明f（x）在区间（1，＋∞）内单调递增；

（3）若对于区间[3,4]上的每一个x的值，不等式f（x）>

x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

12．已知定义在R上的奇函数f（x），当x>

0时，f（x）＝－x2＋2x.

（1）求函数f（x）在R上的解析式；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

13．函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且对一切x>

0，y>

0，都有f

＝f（x）－f（y），当x>

1时，有f（x）>

（2）判断f（x）的单调性并加以证明；

（3）若f（4）＝2，求f（x）在[1,16]上的值域．

参考答案

1．D　由x·

得

而f（－3）＝0，f（3）＝0，

即

所以x·

0的解集是{x|－3<

3}．

2．A　根据函数奇偶性的判断可得选项A，B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，所以排除C，D选项．由二次函数的图象可得选项B在（－∞，0）上是单调递减的，根据排除法选A.因为函数y＝x2在（－∞，0）上是单调递减的且y＝

在（－∞，0）上是单调递减的，所以根据复合函数单调性的判断可得选项A在（－∞，0）上是单调递增的．

3．C　∵函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则（　　）

A．f[g（－x）]＝f[g（x）]，f[g（x）]为偶函数．

B．g[f（－x）]＝g[－f（x）]＝g[f（x）]，g[f（x）]为偶函数．

C．f[f（－x）]＝f[－f（x）]＝－f[f（x）]，f[f（x）]为奇函数．

D．g[g（－x）]＝g[g（x）]，g[g（x）]为偶函数．

故选C

4．A　因为f（x）在区间[2,6]上是增函数，且最小值为4，所以f

（2）＝4，又因为f（x）是奇函数，所以f（x）在[－6，－2]上单调递增，且最大值为f（－2）＝－f

（2）＝－4.

5．2014

解析　由函数y＝f（x）＋x3为偶函数，且f（10）＝10，

得f（－10）＋（－10）3＝f（10）＋103⇒f（－10）＝2010，

从而g（－10）＝f（－10）＋4＝2010＋4＝2014，

故应填入2014.

6．（－1,3）

解析　因为f（x）是偶函数，所以不等式f（x－1）>

0⇔f（|x－1|）>

f

（2），又因为f（x）在[0，＋∞）上单调递减，所以|x－1|<

2，解得－1<

3.

7．（－

，0）∪（0，

）

解析　∵

0对区间（－∞，0）内任意两个不相等的实数x1，x2都成立，

∴函数g（x）＝xf（x）在（－∞，0）上单调递减，又f（x）为奇函数，∴g（x）＝xf（x）为偶函数，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且g（－1）＝g

（1）＝0，

作出g（x）的草图如图所示．

xf（2x）＜0即2