矩阵二项式2.docx

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矩阵二项式2

矩阵-二项式-2

课题（课型）

矩阵变换

教学目标或考点分析：

（1）矩阵与变换

考查二阶逆矩阵与二元一次方程组

求矩阵的特征值与特征向量

（2）考向一　求二项展开式中指定项或指定项系数

考向二　二项式定理中的赋值

考向三　二项式定理的应用

教学重难点：

教学方法：

知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练

个性化辅导内容：

分层训练A级　

1．（2009·江苏卷）求矩阵A＝的逆矩阵．

A的逆矩阵为A－1＝.

2．（2008·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．

解　设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x′0，y′0）则有

＝，即∴

又∵点P在椭圆上，故4x＋y＝1，从而x＋y＝1.

∴曲线F的方程是x2＋y2＝1.

解　由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1，

即＝－1×，得

同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.

因此矩阵A＝.

6．（2012·扬州调研）已知矩阵M＝，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．

解　由矩阵M的特征多项式f（λ）＝＝

（λ－3）2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．

设矩阵M的特征向量为，

当λ1＝2时，由M＝2，可得

可令x＝1，得y＝1，

∴α1＝是M的属于λ1＝2的特征向量．

当λ2＝4时，由M＝4，可得

取x＝1，得y＝－1，

∴α2＝是M的属于λ2＝4的特征向量．

分层训练B级　

1．（2013·南京模拟）求曲线C：

xy＝1在矩阵M＝

对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．

解　设P（x0，y0）为曲线C：

xy＝1上的任意一点，

它在矩阵M＝对应的变换作用下得到点Q（x，y）

由＝，得

解得

因为P（x0，y0）在曲线C：

xy＝1上，所以x0y0＝1.

所以×＝1，即x2－y2＝4.

所以所求曲线C1的方程为x2－y2＝4.

2．（2012·南通调研）已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P（1，－2）在矩阵M的变换下得到点P′（－4,0），求：

（1）实数a的值；

（2）矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

解　

（1）由＝，

所以2－2a＝－4.所以a＝3.

（2）由

（1）知M＝，则矩阵M的特征多项式为

f（λ）＝＝（λ－2）（λ－1）－6＝λ2－3λ－4.

令f（λ）＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.

当λ＝－1时，⇒x＋y＝0.

所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.

当λ＝4时，⇒2x－3y＝0.

所以矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.

3．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点（－1,2）变换成（－2,4）．

（1）求矩阵M；

（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；

（3）求直线l：

x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

解　

（1）设M＝，则＝8＝，

故因＝，故

联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，

故M＝.

（2）由

（1）知，矩阵M的特征多项式为

f（λ）＝（λ－6）（λ－4）－8＝λ2－10λ＋16，

故其另一个特征值为λ＝2.

设矩阵M的另一个特征向量是e2＝，

则Me2＝＝2，解得2x＋y＝0.

（3）设点（x，y）是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），则＝，

即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0.

4．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.

（1）求矩阵A；

（2）若向量β＝，计算A5β的值．

解　

（1）A＝.

（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝，当λ2＝3时，

得α2＝.

由β＝mα1＋nα2，得解得m＝3，n＝1.

∴A5β＝A5（3α1＋α2）＝3（A5α1）＋A5α2＝3（λα1）＋λα2＝3×25＋35＝.

二项式定理

分层训练A级　

一、填空题

1．（2011·陕西卷改编）（4x－2－x）6（x∈R）展开式中的常数项是________．

解析　Tr＋1＝C（22x）6－r（－2－x）r＝（－1）rC·（2x）12－3r，r＝4时，12－3r＝0，故第5项是常数项，T5＝（－1）4C＝15.

答案　15

2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为________．

解析　Tr＋1＝C（）n－rr＝（－2）rCx，当r＝4时，＝0，又n∈N*，∴n＝12.

答案　12

3．（2011·天津改编）在6的二项展开式中，x2的系数为________．

解析　在6的展开式中，第r＋1项为

Tr＋1＝C6－rr＝C6－rx3－r（－2）r，

当r＝1时为含x2的项，其系数是C5（－2）＝－.

答案　－

4．已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________．

解析　由题意知C·（－a）4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为（1－a）8＝1或38.

答案　1或38

5．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为________．

解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，

Tr＋1＝C（5x）4－rr＝（－1）r54－rCx4－，

令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.

答案　150

6．已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）的值等于________．

解析　已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，则0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，

令x＝－1，则25＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.

∴a0＋a2＋a4＝－（a1＋a3＋a5）＝16.

则（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256.

答案　－256

二、解答题

7．已知n，

（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；

（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

解　

（1）∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.

∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C727＝3432.

（2）∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.

∴n＝12或n＝－13（舍去）．设Tk＋1项的系数最大，

∵12＝12（1＋4x）12，

∴　∴9.4≤k≤10.4，

∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，

T11＝C·2·210·x10＝16896x10.

8．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．

（1）试用组合数表示这个一般规律；

（2）在数表中试求第n行（含第n行）之前所有数之和；

（3）试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．

第0行　　　　　　　1

第1行　　　　　　1　1

第2行　　　　　　1　2　1

第3行　　　　　1　3　3　1

第4行　　　　1　4　6　4　1

第5行　　　1　5　10　10　5　1

第6行　　1　6　15　20　15　6　1

解　

（1）C＝C＋C.

（2）1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.

（3）设C∶C∶C＝3∶4∶5，

由＝，得＝，

即3n－7r＋3＝0，①

由＝，得＝，

即4n－9r－5＝0②

解①②联立方程组得，n＝62，r＝27，

即C∶C∶C＝3∶4∶5.

分层训练B级　

1．（2010·四川卷）6的展开式中的第四项是________．

解析　6的展开式中第4项为T3＋1＝C23·3＝－.

答案　－

2．（2011·安徽卷）设（x－1）21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.

解析　Tr＋1＝Cx21－r（－1）r＝（－1）rCx21－r，

由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C，∴a10＋a11＝C－C＝0.

答案　0

3．（2011·浙江卷）设二项式6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．

解析　对于Tr＋1＝Cx6－rr＝C（－a）rx6－r，

B＝C（－a）4，A＝C（－a）2.∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.

答案　2

4．（2011·新课标全国卷改编）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．

解析　令x＝1，由已知条件1＋a＝2，则a＝1.5＝C（2x）5＋C（2x）4＋C（2x）32＋C（2x）2·3＋C（2x）4＋5

＝32x5－80x3＋80x－40＋10－，则常数项为40.

答案　40

5．（2012·天一中学，淮阴中学，海门中学调研）把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2i－1个正整数，设aij（i，j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．

（1）求a69的值；

（2）用i，j表示aij；

（3）记An＝a11＋a22＋a33＋…＋ann（n∈N*），求证：

当n≥4时，An>n2＋C.

1

2　3

4　5　6　7

8　9　10　11　12　13　14　15

…　…　…　…　…

（1）解　a69＝25＋（9－1）＝40.

（2）解　∵数表中前（i－1）行共有1＋2＋22＋…＋2i－2＝（2i－1－1）个数，则第i行的第一个数是2i－1，

∴aij＝2i－1＋j－1.

（3）证明　∵aij＝2i－1＋j－1，则ann＝2n－1＋n－1（n∈N*），

∴An＝（1＋2＋22＋…＋2n－1）＋[0＋1＋2＋…＋（n－1）]

　＝2n－1＋，

当n≥4时，An＝（1＋1）n－1＋>C＋C＋C＋C－1＋＝n2＋C.

6．（2012·苏锡常镇调研）从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f（r），其定义域是{r|r∈N，r≤n}．

（1）证明：

f（r）＝f（r－1）；

（2）利用

（1）的结论，证明：

当n为偶数时，（a＋b）n的展开式中最中间一项的二项式系数最大．

证明　

（1）∵f（r）＝C＝，

又∵f（r－1）＝C＝，

∴f（r－1）＝

＝.

则f（r）＝f（r－1）成立．

（2）设n＝2k，

∵f（r）＝f（r－1），f（r－1）>0，

∴＝.

令f（r）≥f（r－1），∴≥1.

则r≤k＋（等号不成立）．

∴r＝1,2，…，k时，f（r）>f（r－1）成立．

反之，当r＝k＋1，k＋2，…，2k时，f（r）

∴f（k）＝C最大．

即（a＋b）n的展开式中最中间一项的二项式系数最大.

学生归纳总结：

1：

这堂课你掌握了什么？

答：

。

学生对本次课的评定：

○特别满意○满意○一般○差

学生签字：

教师评定：

1、学生上次作业评价：

○好○较好○一般○差

2、学生本次上课情况评价：

○好○较好○一般○差

教师签字：