三角形四心与向量课件docWord格式.docx

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故tanAOAtanBOBtanCOC0

3.O是ABC的外心|OA||OB||OC|(或

222

OAOBOC)

若O是ABC的外心则SSSsinBOCsinAOCsinAOBsin2A:

sin2B:

sin2C

故sin2AOAsin2BOBsin2COC0

4.O是内心ABC的充要条件是

OA(

|

AB

AC

)OB(

BA

BC

OC

CA

CB

引进单位向量,使条件变得更简洁。

如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3,则刚才O是ABC内心的充要条件

可以写成OA(e1e3)OB(e1e2)OC(e2e3)0

,O是ABC内心的充要条件也可以是

a。

若O是ABC的内心,则SSSabc

OAbOBcOC0

BOC:

故aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0;

|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P是ABC的内心;

A

ABAC

向量()(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直

|AB||AC|

e

2

C

B线);

范例

(一)将平面向量与三角形内心结合考查

P

例1.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(),0,则

P点的轨迹一定通过ABC的()

(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心

是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2,又OPOAAP,则原

解析:

因为

式可化为AP(e1e2),由菱形的基本性质知AP平分BAC,那么在ABC中,AP平分BAC,则知选B.

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2.H是△ABC所在平面内任一点,HAHBHBHCHCHA点H是△ABC的垂心.

由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC,

同理HCAB,HABC.故H是△ABC的垂心.(反之亦然(证略))

-1-

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点,若PAPBPBPCPCPA,则P是△ABC的(D)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解析:

由PAPBPBPC得PAPBPBPC0.即PB(PAPC)0,即PBCA0

则PBCA,同理PABC,PCAB所以P为ABC的垂心.故选D.

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4.G是△ABC所在平面内一点,GAGBGC=0点G是△ABC的重心.

证明作图如右,图中GBGCGE

连结BE和CE,则CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点,AD为BC边上

的中线.

将GBGCGE代入GAGBGC=0,

得GAEG=0GAGE2GD,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))

例5.P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心PG(PAPBPC).

证明PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC)

∵G是△ABC的重心∴GAGBGC=0AGBGCG=0,即3PGPAPBPC

由此可得PG(PAPBPC).(反之亦然(证略))

例6若O为ABC内一点,OAOBOC0,则O是ABC的()

A.内心B.外心C.垂心D.重心

由OAOBOC0得OBOCOA,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,则OBOCOD,由

平行四边形性质知

OEOD,OA2OE,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。

(四)将平面向量与三角形外心结合考查

例7若O为ABC内一点,OAOBOC,则O是ABC的()

由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。

故O是ABC的外心,选B。

(五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8.已知向量

OP,OP2,OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1,

求证△P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考题五B组第6题)

证明由已知OP1+OP2=-OP3,两边平方得OP1·

OP2=

同理OP2·

OP3=OP3·

OP1=

∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3,从而△P1P2P3是正三角形.

反之,若点O是正三角形△P

1P2P3的中心,则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|.

即O是△ABC所在平面内一点,

OP+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|点O是正△P1P2P3的中心.

例9.在△ABC中,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证:

Q、G、H三点共线,且QG:

GH=1:

2。

【证明】:

以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。

设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分别

为AB、BC、AC的中点,则有:

xxxyxyx

D(1,0)、(12,2)、(2,2)由题设可设1EFQ(,y)、H(x,y),324

222222

G

xxy

122

(,)

33

212

AH(x,y),QF(,y)

243

y

C(x2,y2)

BC(xx,y)

-2-

FHE

AHBC

AHBCx(xx)yy0

22124

4

x(xx)

221

QFAC

QFACx()y(y)0

223

x(xx)y

2212

2y2

x2xx3x(xx)y

1212212

QH(x,yy),)

22y

22

xxxy2xxyx(xx)y

21122122212

QG(,y),)

(3

323632y2

2xx3x(xx)y12xx3x(xx)y

212212212212

(,)(,)

66y6322y2

=QH3

即QH=3QG,故Q、G、H三点共线,且QG:

GH=1:

例10.若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证OHOAOBOC.

证明若△ABC的垂心为H,外心为O,如图.

连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.

∴ADAB,CDBC.又垂心为H,AHBC,CHAB,

∴AH∥CD,CH∥AD,

∴四边形AHCD为平行四边形,

∴AHDCDOOC,故OHOAAHOAOBOC.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系:

(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”;

(2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂

心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题.

例11.设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证OGOH

证明按重心定理G是△ABC的重心OG(OAOBOC)

按垂心定理OHOAOBOC由此可得OGOH

.

补充练习

1.已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足

OP=

1

OA+OB

2

+2OC),则点P一定为三角形ABC的(B)

A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)

C.重心D.AB边的中点

1.B取AB边的中点M,则OAOB2OM,由OP=

OA+OB

+2OC)可得3OP3OM2MC,

2,即点P为三角形中AB边上

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