全国卷Ⅲ理数高考试题文档版打印版Word格式.docx
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天）的Logistic模型：
，其中K为最大确诊病例数．当
时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为
A．60B．63C．66D．69
5．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：
交于D，E两点，若
，则C的焦点坐标为
6．已知向量a，b满足
7．在△ABC中，cosC=
，AC=4，BC=3，则cosB=
8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
9．已知2tanθ–tan（θ+
）=7，则tanθ=
A．–2B．–1C．1D．2
10．若直线l与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l的方程为
A．y=2x+1B．y=2x+
C．y=
x+1D．y=
x+
11．设双曲线C：
（a>
0，b>
0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=
A．1B．2C．4D．8
12．已知55<
84，134<
85．设a=log53，b=log85，c=log138，则
A．a<
b<
cB．b<
a<
cC．b<
c<
aD．c<
b
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件
则
的最大值为__________．
14．
的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．
16．关于函数f（x）=
有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=
对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
设数列{an}满足a1=3，
．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
18．（12分）
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：
天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
（200，400]
（400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；
若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×
2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次>
400
空气质量好
空气质量不好
附：
K2=
P（K2≥k）
0.0500.0100.001
k
3.8416.63510.828
19．（12分）
如图，在长方体
中，点
分别在棱
上，且
（1）证明：
点
在平面
内；
（2）若
，求二面角
的正弦值．
20．（12分）
已知椭圆
的离心率为
分别为
的左、右顶点．
（1）求
的方程；
（2）若点
在
上，点
在直线
，求
的面积．
21．（12分）
设函数
，曲线
在点（
，f（
））处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
有一个绝对值不大于1的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．
；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
设a，b，c∈R，
（2）用
表示a，b，c的最大值，证明：
≥
理科数学试题参考答案
选择题答案
一、选择题
1．C2．D3．B4．C
5．B6．D7．A8．C
9．D10．D11．A12．A
非选择题答案
二、填空题
13．714．24015．
16．②③
三、解答题
17．解：
（1）
猜想
由已知可得
……
.
因为
，所以
（2）由
（1）得
.①
从而
.②
得
所以
18．解：
（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：
1
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
（3）根据所给数据，可得
列联表：
33
37
22
根据列联表得
由于
，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
19．解：
设
，如图，以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，建立空间直角坐标系
（1）连结
，得
因此
，即
四点共面，所以点
内．
（2）由已知得
为平面
的法向量，则
即
可取
同理可取
，所以二面角
的正弦值为
20．解：
（1）由题设可得
的方程为
（2）设
，根据对称性可设
，由题意知
由已知可得
，直线BP的方程为
，将
代入
的方程，解得
或
由直线BP的方程得
或8.
所以点
的坐标分别为
，直线
，点
到直线
的距离为
，故
的面积为
综上，
21．解：
依题意得
故
（2）由
（1）知
令
，解得
与
的情况为：
x
+
–
，所以当
时，
只有大于1的零点.
时，f（x）只有小于–1的零点．
由题设可知
当
只有两个零点
和1.
只有两个零点–1和
有三个等点x1，x2，x3，且
综上，若
有一个绝对值不大于1的零点，则
所有零点的绝对值都不大于1.
坐标系与参数方程]
解：
（1）因为t≠1，由
得
，所以C与y轴的交点为（0，12）；
由
得t=2，所以C与x轴的交点为
（2）由
（1）可知，直线AB的直角坐标方程为
代入，
得直线AB的极坐标方程
不等式选讲]
（1）由题设可知，a，b均不为零，所以
（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为
，所以a>
0，b<
0，c<
0.由
，可得
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