高考数学理备考黄金易错点专题09 等差数列与等比数列易错起源Word格式.docx

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，此时

，所以

是第

组等比数列

的部分和，设

所以

所以对应满足条件的最小整数

，故选A.

4.【2016高考新课标1卷】已知等差数列

前9项的和为27,

则

（）

（A）100（B）99（C）98（D）97

【解析】由已知,

故选C.

5.【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且

（

）.若

（）

A．

是等差数列B．

是等差数列

C．

是等差数列D．

6.【2016年高考北京理数】已知

为等差数列，

为其前

项和，若

_______..

【答案】6

【解析】∵

是等差数列，∴

∴

，故填：

6．

7.【2016高考江苏卷】已知

是等差数列，

是其前

项和.若

的值是▲.

【答案】

【解析】由

得

，因此

5、【2016高考新课标1卷】设等比数列

满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为．

【答案】64

【解析】设等比数列

的公比为

，由

.所以

，于是当

或

时，

取得最大值

.

8.【2016高考江苏卷】

（本小题满分16分）

记

.对数列

和

的子集T，若

定义

;

若

，定义

.例如：

.现设

是公比为3的等比数列，且当

（1）求数列

的通项公式；

（2）对任意正整数

，若

，求证：

；

（3）设

求证：

（1）

（2）详见解析（3）详见解析

（2）因为

因此，

（3）下面分三种情况证明.

①若

是

的子集，则

②若

③若

不是

的子集，且

的子集.

令

则

于是

，进而由

，得

设

中的最大数，

为

中的最大数，则

由

（2）知，

，于是

又

，故

从而

故

即

综合①②③得，

.

易错起源1、等差数列、等比数列的运算

例1、

（1）已知数列{an}中，a3＝

，a7＝

，且

是等差数列，则a5等于（　　）

A.

B.

C.

D.

（2）已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，且a1＋a7＝9，a4＝2

，则S8等于（　　）

A．15（1＋

）B．15

C．15

D．15（1＋

）或15（1＋

）

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）设等差数列

的公差为d，则

＝

＋4d，∴

＋4d，解得d＝2.

＋2d＝10，解得a5＝

（2）由a4＝2

，得a1a7＝a

＝8，故a1，a7是方程x2－9x＋8＝0的两根，所以

因为等比数列{an}的各项都为正数，所以公比q>

0.当

时q＝

，所以S8＝

＝15（1＋

）；

当

时，q＝

＝15

.故选D.

【变式探究】

（1）已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.

（2）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则log2

＝________.

答案　

（1）

　－1　

（2）1006

（2）在等比数列中，（a1＋a2）q2＝a3＋a4，

即q2＝2，所以a2013＋a2014＋a2015＋a2016

＝（a1＋a2＋a3＋a4）q2012＝3×

21006，

所以log2

＝1006.

【名师点睛】

在进行等差（比）数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d（q）的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．

【锦囊妙计，战胜自我】

1．通项公式

等差数列：

an＝a1＋（n－1）d；

等比数列：

an＝a1·

qn－1.

2．求和公式

Sn＝

＝na1＋

d；

（q≠1）．

3．性质

若m＋n＝p＋q，

在等差数列中am＋an＝ap＋aq；

在等比数列中am·

an＝ap·

aq.

易错起源2、等差数列、等比数列的判定与证明

例2、已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足an＋Sn＝2n＋1.

（1）求证：

数列{an－2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）求证：

＋

＋…＋

<

证明　

（1）∵an＋Sn＝2n＋1，令n＝1，

得2a1＝3，a1＝

∵an＋Sn＝2n＋1，

∴an－1＋Sn－1＝2（n－1）＋1（n≥2，n∈N*）．

两式相减，得2an－an－1＝2，整理an＝

an－1＋1，

an－2＝

（an－1－2）（n≥2），

∴数列{an－2}是首项为a1－2＝－

，公比为

的等比数列，

∴an－2＝－

n，∴an＝2－

（2）∵

－

＝（

）＋（

）＋…＋（

（1）已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________.

（2）已知数列{bn}的前n项和为Tn，若数列{bn}满足各项均为正项，并且以（bn，Tn）（n∈N*）为坐标的点都在曲线ay＝

x2＋

x＋b（a为非零常数）上运动，则称数列{bn}为“抛物数列”．已知数列{bn}为“抛物数列”，则（　　）

A．{bn}一定为等比数列

B．{bn}一定为等差数列

C．{bn}只从第二项起为等比数列

D．{bn}只从第二项起为等差数列

答案　

（1）2n＋1－3　

（2）B

（2）由已知条件可知，若数列{bn}为“抛物数列”，设数列{bn}的前n项和为Tn，则数列{bn}满足各项均为正项，并且以（bn，Tn）（n∈N*）为坐标的点都在曲线ay＝

x＋b（a为非零常数）上运动，即aTn＝

·

b

bn＋b，当n＝1时，aT1＝

b1＋b⇒ab1＝

b1＋b⇒

b1＋b＝0⇒a·

－a·

b1＋2b＝0，

即b1＝

当n≥2时，由aTn＝

bn＋b，

及aTn－1＝

bn－1＋b，

两式相减得

a·

bn＝

（b

－b

）＋

（bn－bn－1）

⇒

）－

（bn＋bn－1）＝0，

由各项均为正项，可得bn－bn－1＝1（n≥2），

由等差数列的定义可知{bn}一定为等差数列．

（1）判断一个数列是等差（比）数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．

（2）

＝q和a

＝an－1an＋1（n≥2）都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．

数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法

（1）证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明an＋1－an（n∈N*）为一常数；

②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1（n≥2）．

（2）证明{an}是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明

（n∈N*）为一常数；

②利用等比中项，即证明a

＝an－1an＋1（n≥2）．

易错起源3、等差数列、等比数列的综合问题

例3、已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.

（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；

（2）将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn<

Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．

解　

（1）由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，

∴an＝5－n，从而Sn＝

（2）由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，

设等比数列{bn}的公比为q，

则q＝

∴Tm＝

＝8[1－（

）m]，

∵（

）m随m增加而递减，

∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm<

8.

又Sn＝

＝－

（n2－9n）＝－

[（n－

）2－

]，

故（Sn）max＝S4＝S5＝10，

若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有Sn<

Tm＋λ，

则10<

4＋λ，得λ>

6.即实数λ的取值范围为（6，＋∞）．

【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3（an－1），n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足

若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．

解　

（1）由已知得Sn＝3an－2，令n＝1，得a1＝1，

又an＋1＝Sn＋1－Sn＝3an＋1－3an⇒an＋1＝

an，

所以数列{an}是以1为首项，

为公比的等比数列，所以an＝

n－1.

（1）等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．

（2）数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．

（3）数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．

解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；

数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．