模块复习第二章 第6节 对数与对数函数+参考答案文档格式.docx

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④logamMn＝

logaM（m，n∈R，且m≠0）.

（3）换底公式：

logbN＝

（a，b均大于零且不等于1）.

3.对数函数及其性质

（1）概念：

函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）.

（2）对数函数的图象与性质

a>

1

0<

a<

图象

性质

定义域：

（0，＋∞）

值域：

R

当x＝1时，y＝0，即过定点（1，0）

当x>

1时，y>

0；

当0<

x<

1时，y<

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

4.反函数

指数函数y＝ax（a>

0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

[微点提醒]

1.换底公式的两个重要结论

（1）logab＝

；

（2）logambn＝

logab.

其中a>

0，且a≠1，b>

0，且b≠1，m，n∈R.

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

3.对数函数y＝logax（a>

0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），

，函数图象只在第一、四象限.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）log2x2＝2log2x.（　　）

（2）函数y＝log2（x＋1）是对数函数.（　　）

（3）函数y＝ln

与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同.（　　）

（4）当x>

1时，若logax>

logbx，则a<

b.（　　）

解析　

（1）log2x2＝2log2|x|，故

（1）错.

（2）形如y＝logax（a＞0，且a≠1）为对数函数，故

（2）错.

（4）当x＞1时，logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故（4）错.

答案　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

2.（必修1P73T3改编）已知a＝2－

，b＝log2

，c＝log

，则（　　）

A.a>

b>

cB.a>

c>

b

C.c>

aD.c>

解析　∵0<

1，b<

0，c＝log

＝log23>

1.

∴c>

b.

答案　D

3.（必修1P74A7改编）函数y＝

的定义域是________.

解析　由log

（2x－1）≥0，得0<

2x－1≤1.

∴

<

x≤1.

∴函数y＝

的定义域是

.

答案　

4.（2018·

嘉兴调研）计算log29×

log34＋2log510＋log50.25＝（　　）

A.0B.2C.4D.6

解析　原式＝2log23×

（2log32）＋log5（102×

0.25）＝4＋log525＝4＋2＝6.

5.（2019·

武汉月考）已知函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a>

0，且a≠1）的图象如图，则下列结论成立的是（　　）

1，c>

B.a>

1，0<

c<

C.0<

D.0<

解析　由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<

1.又当x＝0时，y>

0，即logac>

0，所以0<

6.（2018·

全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝log2（x2＋a）.若f（3）＝1，则a＝________.

解析　由f（3）＝1得log2（32＋a）＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.

答案　－7

考点一　对数的运算

【例1】

（1）计算：

÷

100－

＝________.

（2）计算：

解析　

（1）原式＝（lg2－2－lg52）×

100

＝lg

×

10＝lg10－2×

10＝－2×

10＝－20.

（2）原式＝

＝

＝1.

答案　

（1）－20　

（2）1

规律方法　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

3.ab＝N⇔b＝logaN（a>

0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

【训练1】

（1）若lg2，lg（2x＋1），lg（2x＋5）成等差数列，则x的值等于（　　）

A.1B.0或

C.

D.log23

（2）（2019·

成都七中检测）已知a>

1，若logab＋logba＝

，ab＝ba，则a＝________，b＝________.

解析　

（1）由题意知lg2＋lg（2x＋5）＝2lg（2x＋1），

∴2（2x＋5）＝（2x＋1）2，（2x）2－9＝0，2x＝3，x＝log23.

（2）设logba＝t，则t>

1，因为t＋

，

所以t＝2，则a＝b2.

又ab＝ba，所以b2b＝bb2，

即2b＝b2，又a>

1，解得b＝2，a＝4.

答案　

（1）D　

（2）4　2

考点二　对数函数的图象及应用　

【例2】

（1）（2019·

潍坊一模）若函数f（x）＝ax－a－x（a>

0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝loga（|x|－1）的图象可以是（　　）

（2）当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2<

logax恒成立，则a的取值范围是（　　）

A.（0，1）B.（1，2）

C.（1，2]D.

解析　

（1）由f（x）在R上是减函数，知0<

又y＝loga（|x|－1）是偶函数，定义域是（－∞，－1）∪（1，＋∞）.

∴当x>

1时，y＝loga（x－1）的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.

因此选项D正确.

（2）由题意，易知a>

在同一坐标系内作出y＝（x－1）2，x∈（1，2）及y＝logax的图象.

若y＝logax过点（2，1），得loga2＝1，所以a＝2.

根据题意，函数y＝logax，x∈（1，2）的图象恒在y＝（x－1）2，x∈（1，2）的上方.

结合图象，a的取值范围是（1，2].

答案　

（1）D　

（2）C

规律方法　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【训练2】

（1）已知函数f（x）＝loga（2x＋b－1）（a>

0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（　　）

A.0<

a－1<

b<

1B.0<

b－1<

1D.0<

日照调研）已知函数f（x）＝

若方程f（x）－a＝0恰有一个实根，则实数a的取值范围是________.

解析　

（1）由函数图象可知，f（x）在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>

1.函数图象与y轴的交点坐标为（0，logab），由函数图象可知－1<

logab<

0，

即logaa－1<

loga1，所以，a－1<

综上有0<

（2）作出函数y＝f（x）的图象（如图所示）.

方程f（x）－a＝0恰有一个实根，等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝a恰有一个公共点，

故a＝0或a≥2，即a的取值范围是{0}∪[2，＋∞）.

答案　

（1）A　

（2）{0}∪[2，＋∞）

考点三　对数函数的性质及应用　

多维探究

角度1　对数函数的性质

【例3－1】（2017·

全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝lnx＋ln（2－x），则（　　）

A.f（x）在（0，2）上单调递增

B.f（x）在（0，2）上单调递减

C.y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称

D.y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称

解析　由题意知，f（x）＝lnx＋ln（2－x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2－x）]＝ln[－（x－1）2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，所以排除A，B；

又f（2－x）＝ln（2－x）＋lnx＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.

答案　C

角度2　比较大小或解简单的不等式

【例3－2】

（1）（一题多解）（2018·

天津卷）已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log

，则a，b，c的大小关系为（　　）

cB.b>

c

（2）若loga（a2＋1）<

loga2a<

0，则a的取值范围是（　　）

A.（0，1）B.

C.

D.（0，1）∪（1，＋∞）

解析　

（1）法一　因为a＝log2e>

1，b＝ln2∈（0，1），c＝log

log2e＝a>

1，所以c>

法二　log

＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝lnx的图象，由图知c>

（2）由题意得a>

0且a≠1，故必有a2＋1>

2a，

又loga（a2＋1）<

1，

同时2a>

1，∴a>

.综上，a∈

角度3　对数型函数性质的综合应用

【例3－3】已知函数f（x）＝loga（3－ax）.

（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？

如果存在，试求出a的值；

如果不存在，请说明理由.

解　

（1）∵a>

0且a≠1，设t（x）＝3－ax，

则t（x）＝3－ax为减函数，

x∈[0，2]时，t（x）的最小值为3－2a，

当x∈[0，2]时，f（x）恒有意义，

即x∈[0，2]时，3－ax>

0恒成立.

∴3－2a>

0.∴a<

又a>

0且a≠1，∴a的取值范围是（0，1）∪

（2）t（x）＝3－ax，∵a>

∴函数t（x）为减函数.

∵f（x）在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，

∴a>

1，x∈[1，2]时，t（x）最小值为3－2a，f（x）最大值为f

（1）＝loga（3－a），

即

故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.

规律方法　1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.

2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.

3.在解决