新教材高中数学第十章概率1011有限样本空间与随机事件1012事件的关系和运算学案新人教A版必修第二册文档格式.docx

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它有哪些特点？

2．样本点和样本空间的概念是什么？

3．事件的分类有哪些？

4．事件的关系有哪些？

1．随机试验

（1）定义：

把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．

（2）特点：

①试验可以在相同条件下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．

2．样本点和样本空间

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．

（2）表示：

一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．

3．事件的分类

（1）随机事件：

①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．

②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．

③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．

（2）必然事件：

Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．

（3）不可能事件：

空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．

■名师点拨

必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况．

4．事件的关系或运算的含义及符号表示

事件的关系或运算

含义

符号表示

包含

A发生导致B发生

A⊆B

并事件（和事件）

A与B至少一个发生

A∪B或A＋B

交事件（积事件）

A与B同时发生

A∩B或AB

互斥（互不相容）

A与B不能同时发生

A∩B＝∅

互为对立

A与B有且仅有一个发生

A∩B＝∅，A∪B＝Ω

（1）如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.

（2）类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C（或A＋B＋C）发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C（或ABC）发生当且仅当A，B，C同时发生．

判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）必然事件一定发生．（　　）

（2）不可能事件一定不发生．（　　）

（3）互斥事件一定对立．（　　）

（4）对立事件一定互斥．（　　）

答案：

（1）√　

（2）√　（3）×

　（4）√

下列事件：

①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；

②经过有信号灯的路口，遇上红灯；

③下周六是晴天．

其中是随机事件的是（　　）

A．①②　　　　　　　　　B．②③

C．①③D．②

解析：

选B.①为必然事件；

②③为随机事件．

“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是（　　）

A．不可能事件B．必然事件

C．可能性较大的随机事件D．可能性较小的随机事件

选D.掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．

一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：

事件A：

“恰有一件次品”；

事件B：

“至少有两件次品”；

事件C：

“至少有一件次品”；

事件D：

“至多有一件次品”．

并给出以下结论：

①A∪B＝C；

②D∪B是必然事件；

③A∪B＝B；

④A∪D＝C.

其中正确的序号是（　　）

A．①②　　　　　　　　B．③④

C．①③D．②③

选A.A∪B表示的事件为至少有一件次品，即事件C，所以①正确，③不正确；

D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；

A∪D表示的事件为至多有一件次品，即事件D，所以④不正确．

　　　　　　　　事件类型的判断

　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．

（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．

（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．

（3）若x∈R，则x2＋1≥1.

（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.

【解】　由题意知

（1）

（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；

（3）中事件一定会发生，是必然事件；

由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件．

判断事件类型的思路

要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　

1．下面的事件：

①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；

②a，b∈R，则ab＝ba；

③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．其中是不可能事件的为（　　）

A．②　　　　　　　　　　B．①

C．①②D．③

选B.②是必然事件，③是随机事件．

2．给出下列四个命题：

①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；

②当“x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；

③“2025年的国庆节是晴天”是必然事件；

④“从100个灯泡（有10个是次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是（　　）

A．4B．3

C．2D．1

选B.“2025年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确．故选B.

　　　　　　　　样本点与样本空间

　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为（x，y）．

（1）写出这个试验的样本空间；

（2）求这个试验的样本点的总数；

（3）“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？

“x<

3且y>

1”呢？

（4）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？

“x＝y”呢？

【解】　

（1）Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}．

（2）样本点的总数为16.

（3）“x＋y＝5”包含以下4个样本点：

（1，4），（2，3），（3，2），（1，4）；

1”包含以下6个样本点：

（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）．

（4）“xy＝4”包含以下3个样本点：

（1，4），（2，2），（4，1）；

“x＝y”包含以下4个样本点：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）．

确定样本空间的方法

（1）必须明确事件发生的条件；

（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．　

　甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布）．

（1）写出样本空间；

（2）用集合表示事件“甲赢”；

（3）用集合表示事件“平局”．

解：

（1）Ω＝{（锤，剪），（锤，布），（锤，锤），（剪，锤），（剪，剪），（剪，布），（布，锤），（布，剪），（布，布）}．

（2）记“甲赢”为事件A，则A＝{（锤，剪），（剪，布），（布，锤）}．

（3）记“平局”为事件B，则B＝{（锤，锤），（剪，剪），（布，布）}．

　　　　　　　　事件的运算

　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．

求：

（1）事件D与A、B是什么样的运算关系？

（2）事件C与A的交事件是什么事件？

【解】　

（1）对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.

（2）对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.

[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？

C与F的交事件是什么？

由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A⊆C，B⊆C，E⊆C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.

（1）利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．

（2）利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．　

　掷一枚骰子，下列事件：

A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}，E＝{点数是3的倍数}．

（1）A∩B，BC；

（2）A∪B，B＋C；

（3）D，AC.

（1）A∩B＝∅，BC＝{出现2点}．

（2）A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，

B＋C＝{出现1，2，4或6点}．

（3）D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；

AC＝{出现1点}．

　　　　　　　　互斥事件与对立事件的判定

　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．

（1）恰有1名男生与恰有2名男生；

（2）至少有1名男生与全是男生；

（3）至少有1名男生与全是女生；

（4）至少有1名男生与至少有1名女生．

【解】　判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；

判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．

（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；

当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．

（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；

由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

（1）包含关系、相等关系的判定

①事件的包含关系与集合的包含关系相似；

②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．

（2）判断事件是否互斥的两个步骤

第一步，确定每个事件包含的结果；

第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．

（3）判断事件是否对立的两个步骤

第一步，判断是互斥事件；

第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．　

　判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

从40张扑克