离散数学考试题详细答案Word文档下载推荐.docx
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x（R（x）E（x,0）→y（R（y）E（f（x,y）,1））））
c）f是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f（a）=b.
设F（f）表示“f是从A到B的函数”,A（x）表示“x∈A”,B（x）表示“x∈B”,E（x,y）表示“x=y”,命题符号化为：
F（f）⇄a（A（a）→b（B（b）E（f（a）,b）c（S（c）E（f（a）,c）→E（a,b））））
二、简答题（共6道题，共32分）
1.求命题公式（P→（Q→R））（R→（Q→P））的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）
（P→（Q→R））（R→（Q→P））（PQR）（PQR）
（（PQR）→（PQR））（（PQR）→（PQR））.
（（PQR）（PQR））（（PQR）（PQR））
（PQR）（PQR）这是主合取范式
公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为
（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR
2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）
a）xy（x+y=4）
b）yx（x+y=4）
a）Tb）F
3.求x（F（x）→G（x））→（xF（x）→xG（x））的前束范式。
（4分）
x（F（x）→G（x））→（xF（x）→xG（x））x（F（x）→G（x））→（yF（y）→zG（z））
x（F（x）→G（x））→yz（F（y）→G（z））xyz（（F（x）→G（x））→（F（y）→G（z）））
4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）
a）（AB）－C=（A-B）（A-C）
b）若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|
a）真命题。
因为（AB）－C=（AB）~C=（A~C）（B~C）=（A-C）（B-C）
b）真命题。
因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfB,故命题成立。
5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）
a）A上有多少种不同的等价关系？
b）从A到A的不同双射函数有多少个？
a）52b）5!
=120
6.设有偏序集<
A,≤>
，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，（5分）
fg
de
bc
a
图1
B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.
7.已知有限集S={a1,a2,…,an},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;
P（S）;
N,Nn;
P（N）;
R,R×
R,{o,1}N（写出即可）（6分）
K[S]=n;
K[P（S）]=
;
K[N]=0,K[Nn]=0,K[P（N）]=;
K[R]=,K=[R×
R]=,K[{0,1}N]=
三、证明题（共3小题，共计40分）
1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）
a）A→（B∧C）,（E→F）→C,B→（A∧S）B→E
b）x（P（x）→Q（x））,x（Q（x）∨R（x）），xR（x）xP（x）
a）证
（1）BP（附加条件）
（2）B→（A∧S）P
（3）A∧ST
（1）
（2）I
（4）AT（3）I
（5）A→（B∧C）P
（6）B∧CT（4）（5）I
（7）CT（6）I
（8）（E→F）→CP
（9）（E→F）T（7）（8）I
（10）E∧FT（9）E
（11）ET（10）I
（12）B→ECP
b）证
（1）xR（x）P
（2）R（c）ES
（1）
（3）x（Q（x）∨R（x））P
（4）Q（c）∨R（c）US（3）
（5）Q（c）T
（2）（4）I
（6）x（P（x）→Q（x））P
（7）P（c）→Q（c）US（6）
（8）P（c）T（5）（7）I
（9）xP（x）EG（8）
2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠，关系R满足：
<
x1,y1>
<
x2,y2>
>
∈R，当且仅当<
x1,x2>
∈R1且<
y1,y2>
∈R2。
试证明：
R是A×
B上的等价关系。
（10分）
证任取<
x,y>
∈A×
Bx∈Ay∈B<
x,x>
∈R1<
y,y>
∈R2<
∈R，故R是自反的
任取<
u,v>
∈R<
x,u>
y,v>
u,x>
v,y>
∈R.故R是对称的。
s,t>
∈R
u,s>
v,t>
∈R2（<
∈R1）（<
∈R2）<
x,s>
R1<
y,t>
∈R,故R是传递的。
综上所述R是A×
3.用伯恩斯坦定理证明（0,1]和（a,b）等势。
证构造函数f：
（0,1]→（a,b），f（x）=
显然f是入射函数
构造函数g:
（a,b）→（0,1]，
显然g是入射函数，
故（0,1]和（a,b）等势。
由于
，所以
4.设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R的商集A/R有r个元素，证明：
rs≥n2。
证设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,…,mr，由于一个划分对应一个等价关系，m1+m2+…+mr=n，
（r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方），所以
，即
四、应用题（10分）
在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。
城市之间的直接连接的道路是单向的，有a→b,a→c,b→g,g→b,c→f,f→e,b→d,d→f.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。
解把8个城市作为集合A的元素，即A={a,b,c,d,e,,f,g,h}，在A上定义二元关系R，<
∈R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即
R={<
a,b>
a,c>
b,g>
g,b>
c,f>
f,e>
b,d>
d,f>
}
那么该问题即变为求R的传递闭包。
利用Warshal算法，求得t（R）=
那么从城市x出发能到达的城市为
，
故有
离散数学考试题答案
a）设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：
b）设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：
c）设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：
a）设R（x）表示“x是实数”，Q（x）表示“x是有理数”，命题符号化为：
b）设R（x）表示“x是实数”，E（x,y）表示“x=y”,f（x,y）=xy,命题符号化为：
c）设F（f）表示“f是从A到B的函数”,A（x）表示“x∈A”,B（x）表示“x∈B”,E（x,y）表示“x=y”,命题符号化为：
1.（P→（Q→R））（R→（Q→P））（PQR）（PQR）
2.a）Tb）F
3.x（F（x）→G（x））→（xF（x）→xG（x））x（F（x）→G（x））→（yF（y）→zG（z））
4.a）真命题。
5.a）52b）5!
6.B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.
7.K[S]=n;
1.a）证
（1）BP（附加条件）
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