1、 x(R(x) E(x,0) y(R(y) E(f(x,y),1)c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个aA存在唯一的bB,使得f(a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“xA”, B(x)表示“xB”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:F(f) a(A(a) b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) E(a,b)二、 简答题(共6道题,共32分)1. 求命题公式(P(QR) (R(QP)的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋值。(5分)(P(QR) (R(QP) ( P Q R) (P Q R) ( P Q R)(P Q R
2、) (P Q R) ( P Q R). (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) ( P Q R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为( P Q R ( P Q R ( P Q R (P Q R (P Q R (P Q R 2. 设个体域为1,2,3,求下列命题的真值(4分)a) x y(x+y=4)b) y x (x+y=4)a) T b) F3. 求 x(F(x)G(x)( xF(x) xG(x)的前束范式。(4分) x(F(x)G(x)( xF(x) xG(x) x(F(x)G(x)(
3、 yF(y) zG(z) x(F(x)G(x) y z(F(y)G(z) x y z(F(x)G(x) (F(y)G(z)4. 判断下面命题的真假,并说明原因。(每小题2分,共4分)a) (A B)C=(A-B) (A-C)b) 若f是从集合A到集合B的入射函数,则|A|B|a) 真命题。因为(A B)C=(A B) C=(A C) (B C)=(A-C) (B-C)b) 真命题。因为如果f是从集合A到集合B的入射函数,则|ranf|=|A|,且ranf B,故命题成立。5. 设A是有穷集,|A|=5,问(每小题2分,共4分)a) A上有多少种不同的等价关系?b) 从A到A的不同双射函数有多少
4、个?a) 52 b) 5!=1206. 设有偏序集,其哈斯图如图1,求子集B=b,d,e的最小元,最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界,(5分)f g d e b ca图1B的最小元是b,无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是g、下界集合是a,b、上确界是g、下确界是b.7. 已知有限集S=a1,a2,an,N为自然数集合,R为实数集合,求下列集合的基数S;P(S);N,Nn;P(N);R,RR,o,1N(写出即可)(6分)KS=n; KP(S)=; KN= 0,KNn= 0, KP(N)= ; KR= , K=RR= ,K0,1N= 三、 证明题(共3小题,共
5、计40分)1. 使用构造性证明,证明下面推理的有效性。(每小题5分,共10分)a) A(BC),(E F) C, B(A S) BEb) x(P(x) Q(x), x(Q(x)R(x), x R(x) x P(x)a) 证 (1)B P(附加条件) (2)B(A S) P (3) A S T(1)(2) I (4) A T(3) I (5) A(BC) P (6) BC T(4)(5) I (7) C T(6) I (8) (E F) C P (9) (E F) T(7)(8) I (10) EF T(9) E (11) E T(10) I (12) BE CPb) 证 (1) x R(x)
6、P (2) R(c) ES(1) (3) x(Q(x)R(x) P (4) Q(c)R(c) US(3) (5) Q(c) T(2)(4) I (6) x(P(x) Q(x) P (7) P(c) Q(c) US(6) (8) P(c) T(5)(7) I (9) x P(x) EG(8)2. 设R1是A上的等价关系,R2是B上的等价关系,A 且B ,关系R满足:,R,当且仅当R1且R2。试证明:R是AB上的等价关系。(10分)证 任取,AB xA yB R1 R2 R,故R是自反的任取R y,vu,xv,yR.故R是对称的。s,tRu,sv,tR2 (R1) (R2) R1 R, 故R是传递
7、的。综上所述R是A3. 用伯恩斯坦定理证明(0,1和(a,b)等势。证 构造函数f:(0,1(a,b),f(x)=,显然f是入射函数 构造函数g: (a,b)(0,1,,显然g是入射函数, 故(0,1和(a,b)等势。由于,所以4. 设R是集合A上的等价关系,A的元素个数为n,R作为集合有s个元素,若A关于R的商集A/R有r个元素,证明:rsn2。证 设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,mr,由于一个划分对应一个等价关系,m1+m2+mr=n, (r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方),所以,即四、 应用题(10分)在一个道路上连接有8个城市,分别标记为a,b,c
8、,d,e,f,g,h。城市之间的直接连接的道路是单向的,有ab, ac, bg, gb, cf, fe, bd, df.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。解 把8个城市作为集合A的元素,即A=a,b,c,d,e,f,g,h,在A上定义二元关系R,R当且仅当从x到y有直接连接的道路,即R=a,cb,gg,bc,ff,eb,dd,f那么该问题即变为求R的传递闭包。利用Warshal算法,求得t(R)=那么从城市x出发能到达的城市为,故有离散数学 考试题答案a) 设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去看电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家看报”,命题符号化为:b)
9、设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:c) 设P表示命题“你走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为:a) 设R(x)表示“x是实数”,Q(x)表示“x是有理数”,命题符号化为:b) 设R(x)表示“x是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为:c) 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“xA”, B(x)表示“xB”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:1. (P(QR) (R(QP) ( P Q R) (P Q R) 2. a) T b) F3. x(F(x)G(x)( xF(x) xG(x) x(F(x)G(x)( yF(y) zG(z)4. a) 真命题。5. a) 52 b) 5!6. B的最小元是b,无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是g、下界集合是a,b、上确界是g、下确界是b.7. KS=n;1. a) 证 (1)B P(附加条件)
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