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1、 x（R（x） E（x,0） y（R（y） E（f（x,y）,1）c） f 是从A到B的函数当且仅当对于每个aA存在唯一的bB，使得f（a）=b.设F（f）表示“f是从A到B的函数”, A（x）表示“xA”, B（x）表示“xB”,E（x,y）表示“x=y”, 命题符号化为：F（f） a（A（a） b（B（b） E（f（a）,b） c（S（c） E（f（a）,c） E（a,b）二、 简答题（共6道题，共32分）1. 求命题公式（P（QR） （R（QP）的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。（5分）（P（QR） （R（QP） （ P Q R） （P Q R） （ P Q R）（P Q R

2、） （P Q R） （ P Q R）. （P Q R） （P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （P Q R） （ P Q R） 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（ P Q R （ P Q R （ P Q R （P Q R （P Q R （P Q R 2. 设个体域为1,2,3，求下列命题的真值（4分）a） x y（x+y=4）b） y x （x+y=4）a） T b） F3. 求 x（F（x）G（x）（ xF（x） xG（x）的前束范式。（4分） x（F（x）G（x）（ xF（x） xG（x） x（F（x）G（x）（

3、 yF（y） zG（z） x（F（x）G（x） y z（F（y）G（z） x y z（F（x）G（x） （F（y）G（z）4. 判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）a） （A B）C=（A-B） （A-C）b） 若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|B|a） 真命题。因为（A B）C=（A B） C=（A C） （B C）=（A-C） （B-C）b） 真命题。因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranf B,故命题成立。5. 设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a） A上有多少种不同的等价关系？b） 从A到A的不同双射函数有多少

4、个？a） 52 b） 5!=1206. 设有偏序集，其哈斯图如图1，求子集B=b,d,e的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，（5分）f g d e b ca图1B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是g、下界集合是a,b、上确界是g、下确界是b.7. 已知有限集S=a1,a2,an,N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P（S）;N,Nn;P（N）;R,RR,o,1N（写出即可）（6分）KS=n; KP（S）=; KN= 0,KNn= 0, KP（N）= ; KR= , K=RR= ,K0,1N= 三、 证明题（共3小题，共

5、计40分）1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10分）a） A（BC）,（E F） C, B（A S） BEb） x（P（x） Q（x）, x（Q（x）R（x）， x R（x） x P（x）a） 证 （1）B P（附加条件） （2）B（A S） P （3） A S T（1）（2） I （4） A T（3） I （5） A（BC） P （6） BC T（4）（5） I （7） C T（6） I （8） （E F） C P （9） （E F） T（7）（8） I （10） EF T（9） E （11） E T（10） I （12） BE CPb） 证 （1） x R（x）

6、P （2） R（c） ES（1） （3） x（Q（x）R（x） P （4） Q（c）R（c） US（3） （5） Q（c） T（2）（4） I （6） x（P（x） Q（x） P （7） P（c） Q（c） US（6） （8） P（c） T（5）（7） I （9） x P（x） EG（8）2. 设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A 且B ，关系R满足：,R，当且仅当R1且R2。试证明：R是AB上的等价关系。（10分）证 任取,AB xA yB R1 R2 R，故R是自反的任取R y,vu,xv,yR.故R是对称的。s,tRu,sv,tR2 （R1） （R2） R1 R, 故R是传递

7、的。综上所述R是A3. 用伯恩斯坦定理证明（0,1和（a,b）等势。证 构造函数f：（0,1（a,b），f（x）=,显然f是入射函数 构造函数g: （a,b）（0,1，,显然g是入射函数， 故（0,1和（a,b）等势。由于，所以4. 设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R的商集A/R有r个元素，证明：rsn2。证 设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,mr，由于一个划分对应一个等价关系，m1+m2+mr=n， （r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方），所以，即四、 应用题（10分）在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c

8、,d,e,f,g,h。城市之间的直接连接的道路是单向的，有ab, ac, bg, gb, cf, fe, bd, df.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。解 把8个城市作为集合A的元素，即A=a,b,c,d,e,f,g,h，在A上定义二元关系R，R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即R=a,cb,gg,bc,ff,eb,dd,f那么该问题即变为求R的传递闭包。利用Warshal算法，求得t（R）=那么从城市x出发能到达的城市为，故有离散数学 考试题答案a） 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：b）

9、设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：c） 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：a） 设R（x）表示“x是实数”，Q（x）表示“x是有理数”，命题符号化为：b） 设R（x）表示“x是实数”，E（x,y）表示“x=y”,f（x,y）=xy, 命题符号化为：c） 设F（f）表示“f是从A到B的函数”, A（x）表示“xA”, B（x）表示“xB”,E（x,y）表示“x=y”, 命题符号化为：1. （P（QR） （R（QP） （ P Q R） （P Q R） 2. a） T b） F3. x（F（x）G（x）（ xF（x） xG（x） x（F（x）G（x）（ yF（y） zG（z）4. a） 真命题。5. a） 52 b） 5!6. B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是g、下界集合是a,b、上确界是g、下确界是b.7. KS=n;1. a） 证 （1）B P（附加条件）