河南省开封市第三十中学高一数学文下学期期末试题Word格式.docx
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时,不等式
恒成立,则实数
的取值范围为( )
A.(2,3]
B.[4,+∞)
C.(1,2]
D.[2,4)
【知识点】函数的单调性;
对数函数.B3,B7.
【答案解析】C
解析:
解:
由函数的单调性可知当
不成立,当
时,
【思路点拨】我们根据条件可画出草图,根据函数的单调性可知,满足条件时a的取值范围.
3.要得到函数
的图象,只要把函数
的图象( )
A.向右平移
个单位
B.向左平移
个单位
C.向右平移
D.向左平移
D
4.不等式
的解集为(
)
D.
A
略
5.已知α,β为锐角,且cosα=
,cosβ=
,则α+β的值是( )
【考点】G9:
任意角的三角函数的定义;
GP:
两角和与差的余弦函数.
【分析】由题意求出
,
,然后求出0<α+β<π,求cos(α+β)的值,确定α+β的值.
【解答】解:
由α,β为锐角,且cosα=
可得
,且0<α+β<π,
故
故选B.
6.下列关于命题的说法正确的是(
A.若
是真命题,则
也是真命题
B.若
C.“若
则
”的否命题是“
”
D.“
”的否定是“
”
7.已知一个空间几何体的三视图如图所示,这个空间几何体的顶点均在同一个球面上,则此球的体积与表面积之比为(
A.31
B.13
C.41
D.32
由三视图知几何体是一个正四棱锥,四棱锥的底面是一个边长为
正方形,高为
,球心在高的延长线上,球心到底面的距离为
,所以
,故此几何体外接球的半径为1球的体积
,表面积为
,所以球的体积与表面积之比为
,故选B.
点睛:
本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,由三视图可以看出,几何体是正四棱锥,求出高,设出球心,通过勾股定理求出球的半径,再求球的体积、表面积,即可求出球的体积与表面积之比.
8.在直角△ABC中,∠BCA=90°
,CA=CB=1,P为AB边上的点
=λ
,若
?
≥
,则λ的最大值是( )
C.1D.
C
【考点】9R:
平面向量数量积的运算.
【分析】把三角形放入直角坐标系中,求出相关点的坐标,利用已知条件运用向量的数量积的坐标表示和二次不等式的解法,即可求出λ的最大值.
∵直角△ABC中,∠BCA=90°
,CA=CB=1,
∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴,
CB所在直线为y轴建立直角坐标系,如图:
C(0,0),A(1,0),B(0,1),
=(﹣1,1),
由
∴λ∈[0,1],
=(﹣λ,λ),
=(1﹣λ,λ),
﹣
=(λ﹣1,1﹣λ),
若
∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ.
2λ2﹣4λ+1≤0,
解得:
1﹣
≤λ≤1+
∵λ∈[0,1],
∴λ∈[1﹣
,1].
则λ的最大值是1.
C.
9.已知
有两个极值点
、
,且
在区间(0,1)上有极大值,无极小值,则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
10.定义在[-7,7]上的奇函数
,当
,则不等式
的解集为
A.(2,7]B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-2,0)∪(2,7]D.[-7,-2)∪(2,7]
【分析】
当
为单调增函数,且
,再结合
为奇函数,所以不等式
。
【详解】当
在
上单调递增,因为
,所以当
等价于
,即
因为
是定义在
上的奇函数,所以
时,
上单调递增,且
,所以不等式
【点睛】本题考查函数的奇偶性,单调性及不等式的解法,属基础题。
应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同,偶函数在其对称的区间上单调性相反。
二、填空题:
本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.定义在
上的偶函数
满足
,且在
上是增函数,下面是关于
的判断:
①
②
在[0,1]上是增函数;
③
的图像关于直线
对称
④
关于点P(
)对称
.
其中正确的判断是____
①③④
12.已知向量
.若
____.
-2
13.已知双曲线
和椭圆
有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________________.
14.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为____________
3
15.给出下列命题:
①若
;
②若
③若
④若
.其中假命题是________(只需填序号).
③④
16.已知sinα﹣cosα=
,α∈(0,π),tanα=
.
﹣1
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】计算题;
三角函数的求值.
【分析】已知等式左边提取
,利用两角和与差的正弦函数公式化简,求出sin(α﹣
)的值为1,由α的范围,利用特殊角的三角函数值求出α的度数,即可求出tanα的值.
∵sinα﹣cosα=
sin(α﹣
)=
∴sin(α﹣
)=1,
∵α∈(0,π),
∴α﹣
,即α=
则tanα=﹣1.
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,特殊角的三角函数值,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键.
17.已知实数x,y满足不等式组
且
的最大值为
.
6
三、解答题:
本大题共5小题,共72分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.已知数列{an}满足:
Sn=1﹣an(n∈N*),其中Sn为数列{an}的前n项和.
(Ⅰ)试求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足:
(n∈N*),试求{bn}的前n项和公式Tn.
【考点】数列的求和;
数列递推式.
【专题】计算题.
(Ⅰ)先把n=1代入求出a1,再利用an+1=Sn+1﹣Sn求解数列的通项公式即可.
(Ⅱ)把(Ⅰ)的结论代入,发现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列,故直接利用数列求和的错位相减法求和即可.
(Ⅰ)∵Sn=1﹣an①
∴Sn+1=1﹣an+1
②﹣①得an+1=﹣an+1+an?
an;
n=1时,a1=1﹣a1?
a1=
(Ⅱ)因为
bn=
=n?
2n.
所以
Tn=1×
2+2×
22+3×
23+…+n×
2n
③
故
2Tn=1×
22+2×
2n+1
④
③﹣④﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n?
2n+1=
整理得
Tn=(n﹣1)2n+1+2.
【点评】本题的第一问考查已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式,第二问考查了数列求和的错位相减法.错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列.
19.设等比数列{an}的各项都为正数,数列{bn}满足bn=a2n-1·
a2n+1,且b1=4,b2=64.
(1)求{an}的通项;
(2)求数列{bn}的前n项和为Tn.
(1)因为{
}为等比数列,由
,………………2分
,因为
>
0,所以
,……………4分
.
…………………………………………………6分
(2)因为
,所以数列{
}为等比数列,首项为4,公比为16,……8分
从而
.………………………………………………………12分
20.椭圆
的两个焦点为
,点
在椭圆
上,且
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若直线
过圆
的圆心
,交椭圆
于
两点,且
关于点
对称,求直线
的方程.
(1)∵
∴
中,
∴
(2)圆的方程为
∴圆心
的斜率不存在时,不符合题意
设
联立
消去
,得
解得
∴直线
的方程为
21.四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面
PAB为正三角形,AB=2,BC=
,E为AB的中点。
(1)证明:
平面ABCD;
(2)求二面角A—PD—B的大小。
22.选修4-5:
不等式选讲
已知函数
(1)求不等式
的解集;
(2)若存在实数
,求实数
的最大值.
解
(1)
时,由
所以不等式
(2)
依题意有
解得
的最大值为3