抛物线Word下载.docx

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准线方程

焦半径

考点2抛物线的定义及应用

平面内与一个定点

和一条定直线

（

不经过点

）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点

叫做抛物线的焦点，定直线

叫做抛物线的准线．

考点3直线和抛物线的位置关系

1.将直线的方程

与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若

，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

①Δ＞0

直线和抛物线相交，有两个交点；

②Δ＝0

直线和抛物线相切，有一个公共点；

③Δ＜0

直线和抛物线相离，无公共点．

2.直线与抛物线的相交弦

设直线

交抛物线

于点

两点，则

=

同理可得

这里

的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

一、课堂练习：

题组一：

常识题

1．已知抛物线y＝

x2，则它的焦点坐标是____________．

2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的标准方程是____________．

3．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为________．

题组二：

常错题

4．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________________．

5．抛物线x2＋2py＝0的焦点到准线的距离为4，则p＝________．

题组三：

常考题

6．抛物线x2＝－2y的焦点坐标是______________．

7．已知焦点在x轴上的抛物线的准线经过点（－1，1），则抛物线方程为______________．

8．设F为抛物线C：

y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°

的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________．

二、典例剖析：

1、已知

是抛物线

上任意一点，则当

点到直线

的距离最小时，

点与该抛物线的准线的距离是.

2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于

，则抛物线的方程为.

3、已知抛物线

的准线与圆

相切，则

的值为.

4、一个动圆与定圆

：

相外切，且与定直线

相切，则此动圆的圆心

的轨迹方程是.

5、直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为.

1、已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB

的中点到y轴的距离为.

2、过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=.

3、已知

的焦点，

是该抛物线上的两点.若线段

的中点到

轴的距离为

，则

.

4、已知抛物线关于

轴对称，它的顶点在坐标原点

，并且经过点

，若点

到该抛物线焦点的距离为3，则

=.

5、如图，F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C在抛物线上，若

＋

＝0，则|

|＋|

|＝.

1、设抛物线

的焦点为

，经过点

的直线交抛物线于

、

两点，分别过

两点作抛物线的两条切线交于点

，则有.

2、过抛物线

的焦点

两点，点

是原点，若

的面积为.

，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于

两点，若线段

的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为.

4、如图，抛物线

，准线为

，经过

且斜率为

的直线与抛物线在

轴上方的部分相交于点

，

，垂足为

的面积是.

5、若

，则称点

在抛物线C：

外．已知点

外，则直线

与抛物线C的位置关系是.

6、已知点F（1,0）,动点M,N分别在x轴,y轴上运动,MN⊥NF,Q为平面上一点,

=0,过点Q作QP平行于x轴交MN的延长线于点P.

（1）求点P的轨迹曲线E的方程;

（2）过点Q作x轴的垂线l,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交曲线E于A,B两点（直线AB不过点F）,交l于C,D两点.若线段AB中点的轨迹方程为y2=2x-4,求△CDF与△ABF的面积之比.

抛物线（师用）

[解析]由y＝

x2得x2＝

y，∴p＝

，∴焦点坐标为

.

[解析]方法一：

过抛物线的焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－1，将y＝x－1代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝

·

＝

×

＝8.方法二：

过抛物线的焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－1，将y＝x－1代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝6，由抛物线的定义知，|AB|＝x1＋x2＋2＝8.

[解析]令x＝0，得y＝－2；

令y＝0，得x＝4.故抛物线的焦点是F（4，0）或F（0，－2），所以所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.

[解析]将方程x2＋2py＝0变形为x2＝－2py，则有|p|＝4，所以p＝±

4.

[解析]由已知得2p＝－2，所以p＝－1，故该抛物线的焦点坐标为

，即

.

[解析]由题意，设抛物线方程为y2＝2px（p>

0），所以准线方程为x＝－

.因为准线经过点（－1，1），所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.

【答案】

【答案】y2=8x

【解析】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上排除C、D，设抛物线的方程为

，则抛物线的准线方程为

，双曲线的渐进线方程为

，由面积为

可得

，所以

【答案】2

【解析】圆

化为

与圆

相切，

5、如图，过抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为.

【答案】y2＝3x

【解析】如图，∵|BC|＝2|BF|，

∴由抛物线的定义可知∠BCD＝30°

|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6．

即F为AC的中点，

∴p＝|FF′|＝

|EA|＝

，故抛物线方程为y2＝3x．

【思想方法】

1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

2．求抛物线方程应注意的问题

（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；

（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；

（3）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

【温馨提醒】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素．

2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；

也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解。

【答案】8

【解析】由于

，因此

，根据焦点弦公式

【答案】3

【解析】抛物线的准线方程：

，线段

的中点到准线的距离为

由抛物线的性质得

|＋