最新精编高中人教A版选修11高中数学拔高习题五122充要条件和答案Word格式文档下载.docx
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若直线(a2-a)x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行,则a=2或a=-1,不是必要条件,故选C.
【补偿训练】
(2015·
杭州高二检测)“a=-1”是“l1:
x+ay+6=0与l2:
(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行(l1与l2不重合)”的__________条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”).
【解析】若直线l1:
(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行,则需满足
1×
2(a-1)-a×
(3-a)=0,化简整理得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,经验证得当a=-1时两直线平行,当a=2时,两直线重合,故“a=-1”是“l1:
(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行”的充要条件.
答案:
充要
3.(2015·
北京高考)设a,b是非零向量,“a·
b=|a||b|”是“a∥b”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
【解析】选A.由a·
b=|a||b|得cos<
a,b>
=1,<
=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.
【补偿训练】已知a∈R,则“a>
2”是“a2>
2a”成立的 ( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.a>
2可以推出a2>
2a,a2>
2a可以推出a>
2或a<
0,不一定推出a>
2,“a>
2a”的充分不必要条件.
4.(2015·
陕西高考)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( )
【解析】选A.方法一:
由cos2α=0得cos2α-sin2α
=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0,
得sinα=cosα或sinα=-cosα.
所以sinα=cosα⇒cos2α=0,
即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.
方法二:
由sinα=cosα,得
sin
=0,即α-
=kπ,α=kπ+
,
k∈Z.
而cos2α=0,得2α=kπ+
,α=
+
,k∈Z.
所以sinα=cosα⇒cos2α=0,即“sinα=cosα”是
“cos2α=0”的充分不必要条件.
5.(2015·
中山高二检测)若m>
0且m≠1,n>
0,则“logmn<
0”是“(m-1)(n-1)
<
0”的 ( )
【解析】选C.由logmn<
0知,
当m>
1时,0<
n<
1,此时(m-1)(n-1)<
0成立,
当0<
m<
1时,n>
所以logmn<
0是(m-1)(n-1)<
0的充分条件;
反之,因为m>
0,
所以当(m-1)(n-1)<
0时,
或
此时总有logmn<
所以,logmn<
0的必要条件.
综上,选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设p,r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的____________条件,r是t的__________条件.
【解析】由题意可画出图形,如图所示.
由图形可以看出p是t的充分条件,r是t的充要条件.
充分 充要
(2013·
哈尔滨高二检测)设甲是乙的充分不必要条件,丙是乙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,则丁是甲的 ( )
【解析】选B.由题意,甲⇒乙,而乙甲,丙⇔乙,丙⇒丁,而丁⇒/丙,可见甲⇒丁,而丁⇒/甲,故丁是甲的必要不充分条件.
7.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是__________.
【解析】因为直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切,所以圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于
,所以
=
,即|m+2|=2解得m=-4或0.
当m=-4或0时,直线与圆相切.
m=-4或0
8.(2015·
杭州高二检测)设m∈N*,一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=________.
【解题指南】先将根用m表示,再用整数等有关概念分析验证.
【解析】x=
=2±
,因为x是整数,即2±
为整数,所以
为整数,且m≤4,又m∈N*,取m=1,2,3,4.验证可得m=3,4符合题意,所以m=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根.
3或4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·
威海高二检测)已知p:
-4<
x-a<
4,q:
(x-2)(x-3)<
0,且q是p的充分而不必要条件,试求a的取值范围.
【解析】设q,p表示的范围为集合A,B,
则A=(2,3),B=(a-4,a+4).
由于q是p的充分而不必要条件,则有A
B,
即
解得-1≤a≤6.
10.求证:
关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
【证明】充分性:
因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0.
所以x2+mx+1=0有实根,两根设为x1,x2,
由根与系数的关系,知x1x2=1>
所以x1与x2同号,
又x1+x2=-m≤-2<
0,所以x1,x2同为负实根.
必要性:
因为x2+mx+1=0有两个负实根x1和x2,
所以
故m≥2,
综上,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.
(2014·
衡水高二检测)求证:
关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).
因为a+b=-(c+d),
所以a+b+c+d=0.
所以a×
13+b×
12+c×
1+d=0成立,
故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根.
关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1,所以a+b+c+d=0,
所以a+b=-(c+d)成立.综上得证.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
四川高考)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>
3b>
3”是“loga3<
logb3”的 ( )
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
【解析】选B.由3a>
3,知a>
b>
1,
所以log3a>
log3b>
即loga3<
logb3,
所以“3a>
logb3”的充分条件;
但是取a=
,b=3也满足loga3<
logb3,不符合a>
logb3”的不必要条件.
湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:
l1,l2是异面直线,
q:
l1,l2不相交,则 ( )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【解析】选A.若p:
l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:
l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:
l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件.
【解析】“直线l与平面α内无数条直线都垂直”中的“无数条直线”是“一组平行直线”时,不能推出线面垂直;
由“直线l与平面α垂直”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都垂直”.
必要不充分
【延伸探究】本题条件中的两处“垂直”都变为“平行”,则结论如何?
【解析】当直线l⊂α时,不能推出l∥α,不是充分条件;
由“直线l与平面α平行”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都平行”,所以是必要不充分条件.
长沙高二检测)若“0<
1”是“(x-a)≤0”的充分而不必要条件,则实数a的取值范围是__________.
【解析】令A={x|0<
1},B={x|(x-a)≤0}={x|a≤x≤a+2},
由题意可得A
B,所以
解得-1≤a≤0.
郑州高二检测)
(1)是否存在实数m,使2x+m<
0是x2-2x-3>
0的充分条件?
(2)是否存在实数m,使2x+m<
0的必要条件?
【解析】
(1)欲使2x+m<
0的充分条件,则只要
⊆{x|x<
-1或x>
3},即只需-
≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<
0的充分条件.
(2)欲使2x+m<
0的必要条件,则只要{x|x<
3}⊆
,这是不可能的.故不存在实数m,使2x+m<
6.(2015·
烟台高二检测)设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,证明:
“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.
由a2=b(b+c)=b2+c2-2bccosA可得1+2cosA=
.
即sinB+2sinBcosA=sin(A+B).
化简,得sinB=sin(A-B),
由于sinB>
0且在三角形中,
故B=A-B,即A=2B.
若A=2B,则A-B=B,sin(A-B)=sinB,
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB.
所以sin(A+B)=sinB(1+2cosA).
因为A,B,C为△ABC的内角,
所以sin(A+B)=sinC,
即sinC=sinB(1+2cosA).
=1+2cosA=1+
化简得a2=b(b+c).
所以a2=b(b+c)是“A=2B”的充要条件.
【补偿训练】已知{an}为等差数列,且a1+a4=10,a1+a3=8,前n项和为Sn.求证:
a1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件是k=6.
【证明】设等差数列{an}的公差为d,
由题意得
解得
所以an=2+2(n-1)=2n,
由此得Sn=
=n(1+n).
(充分性)当k=6时,a1=2,ak=a