圆锥曲线间的三个统一统一定义统一公式统一方程教学文案Word格式文档下载.docx

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。

如图1，将椭圆

按向量（

）平移

得到

∴

∵椭圆的半通径

，

∴椭圆的方程可写成

类似的，如图2，将双曲线

按向量

平移得到

∵双曲线的半通径

∴双曲线方程可写成

对于抛物线

P为半通径，离心率

，它也可写成

对于圆心在（P，0），半径为P的圆，其方程为

于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程

，其中P是曲线的半通径长，当

时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。

三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式

在同一坐标系下，作出方程

所表示的四种圆锥曲线，如图3，设P、B、A、C分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为

的焦点F

则有

即方程

所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为

，设焦点F相应的准线为

，则有

∴准线L为

，对于圆

表示准线L在无限远处，设点

为曲线

上在y轴右侧的动点，则点M对焦点F的焦半径

圆锥曲线的内在统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地联系起来，从而更好地理解圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线解决实际问题。

圆锥曲线中的数学思想方法

在解决圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法，帮助我们解决问题。

思想方法一：

分类讨论思想

例1.给定抛物线

设

，P是抛物线上的一点，且

，试求d的最小值。

解：

∴

又

∴

（1）当

时，

，此时有

（2）当

时，此时有

评注：

引起分类讨论的情况有：

参数的取值范围、去绝对值符号、大小关系不等式等，在讨论中要思维全面，谨慎，做到不懂不漏。

思想方法二：

转化思想

例2已知过点A（―2，―4）且斜率为1的直线L交抛物线

于B、C两点，若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程。

直线L的方程为

设B（

），

由

得

∵|AB|、|BC|、|CA|成等比数列

过A作直线

∥

轴，设B、C在

上的射影分别是

则

即

得

化简为

解得

满足

或

（舍去）

故所求的抛物线方程为

如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A、B、C三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目的。

思想方法三：

化归思想

例3直线L：

与双曲线C：

的右支交于不同的两点A、B。

（1）求实数k的取值范围。

（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。

（1）将直线L的方程

代入双曲线C的方程

，得

①

依题意直线L与双曲线C的右支交于不同两点

2）设A、B两点的坐标分别为

则由①可得

②

假设存在实数

，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）则由FA⊥FB得

整理得：

③

把②式及

代入③式化简得：

使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F。

解决数学问题的过程，实质就是在不断转化与化归的过程。

应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷。

思想方法四：

数形结合思想

例4函数

的最大值是________。

分析：

原式=

，其几何模型是定曲线

上的动点

到两定点A（3，2），B（0，1）的距离之差，要求其最大值。

利用问题模型的几何意义，借助图形性质来解决问题，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化。

思想方法五：

函数与方程思想

例5斜率为2的直线与等轴双曲线

相交于两点

，求线段

中点的轨迹方程。

设直线方程为

代入双曲线方程得

∵直线与双曲线相交于

的坐标为

，线段

中点为

且

代入直线方程得：

所求轨迹方程为

（

）

思想方法六：

构造思想

例6已知

，求

的取值范围。

令

=b，则

原问题转化为：

在椭圆

相切时，有最大截距与最小截距

消去

的取值范围为[－13，13]

应用构造思想解题的关键有①要有明确方向，即为何构造②要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合。

思想方法七：

对称思想

例7在直线L：

上任取一点

过

且以椭圆

的焦点为焦点作椭圆。

问

在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程。

∵

的两焦点

是

关于L的对称点

的直线方程为

与

联立，求得

，这时

的方程为

这时

∴椭圆方程为

用对称思想解题，不仅可以利用对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决。

思想方法八：

参数思想

例8在椭圆

上，求使

取得最大值和最小值的点P的坐标。

将已知方程转化为

设椭圆上动点P为

=

∴当

，即点P坐标为

，即点P坐标为（4，0）时，

参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，引入参数往往能减少变元，避免繁琐的运算。

总之，数学思想方法会有很多，并且不同的题目也会有不同的方法，在解题过程中不断地反思，总结经验，对规律性的东西加以归纳整理，在平时练习或考试中加以应用，肯定能够以简驭繁，事半功倍，使解题建立在较高水平上。