相似三角形难题Word格式.docx

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（1）当x为何值时，PQ∥BC？

（2）△APQ与△CQB能否相似？

若能，求出AP的长；

若不能说明理由．

5.如图矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；

点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．若P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

二、构造相似辅助线——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1），正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°

，求这个正比例函数的表达式．

7.在△ABC中，AB=

，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°

，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：

MC：

NC=AP：

PB．

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）

A.

B.

C.

D.

10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

求C、D两点的坐标。

三、构造相似辅助线——A、X字型

11.如图：

△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。

求证：

12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。

13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：

（1）当

时，EF=

；

（2）当

（3）当

．当

时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．

14.已知：

如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。

求BN：

NQ：

QM．

四、相似类定值问题

16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．

．

17.已知：

如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。

18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。

19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：

五、相似之共线线段的比例问题

20.

（1）如图1，点

在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交

于点

．求证：

（2）如图2，图3，当点

在平行四边形ABCD的对角线

或

的延长线上时，

是否仍然成立？

若成立，试给出证明；

若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

21.已知：

如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：

BP2＝PE·

PF．

22.如图，已知三角形ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。

DE2=EG•EH

23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.

24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；

在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：

PD2＝AD·

DH。

六、相似之等积式类型综合

25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。

26如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.

（1）△AED∽△CBM；

（2）

27.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

（1）求证：

.

（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？

并说明理由.

28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：

29.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。

（1）DG2＝BG·

CG；

（2）BG·

CG＝GF·

GH

七、相似基本模型应用

30.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°

，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．

（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：

△BEM∽△CNE；

（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除

（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．

31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；

（2）求BP：

PQ：

QR．

32.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

答案：

1.答案：

解：

（1）∵∠ACB=90°

，AC=3，BC=4

∴AB=5

又∵AD=AB，AD=5t

∴t=1，此时CE=3，

∴DE=3+3-5=1

（2）

如图当点D在点E左侧，即：

0≦t≦

时，DE=3t+3-5t=3-2t．

若△DEG与△ACB相似，有两种情况：

①△DEG∽△ACB，此时

，

即：

，求得：

t=

②△DEG∽△BCA，此时

如图，当点D在点E右侧，即：

t>

时，DE=5t-（3t+3）=2t-3．

③△DEG∽△ACB，此时

④△DEG∽△BCA，此时

综上，t的值为

3.答案：

（1）证明：

∵AD=CD

∴∠A=∠ACD

∵DE平分

CDB交边BC于点E

∴∠CDE=∠BDE

∵∠CDB为△CDB的一个外角

∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD

∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE

∴∠ACD=∠CDE

∴DE∥AC

（2）①∠NCE=∠MBE

∵EM⊥BD，EN⊥CD，

∴△BME∽△CNE，如图

∵∠NCE=∠MBE

∴BD=CD

又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°

∴∠ACD=∠A

∴AD=CD

∴AD=BD=

AB

∵在Rt△ABC中，

，AC＝6，BC＝8

∴AB=10

∴AD=5

②∠NCE=∠MEB

∴△BME∽△ENC，如图

∵∠NCE=∠MEB

∴EM∥CD

∴CD⊥AB

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB

∴△ACD∽△ABC

∴

综上：

AD=5或

时，△BME与△CNE相似．

4.答案：

解

（1）由题意：

AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，

当PQ∥BC时，

，即：

解得：

（2）能，AP=

cm或AP=20cm

①△APQ∽△CBQ，则

，即

（舍）

此时：

AP=

cm

②△APQ∽△CQB，则

（符合题意）

故AP=

cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．

5.答案：

设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t．

（1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：

6-t=2t，t=2（符合题意）

∴t=2时，△QAP为等腰直角三角形．

（2）∠B=∠QAP=90°

①当△QAP∽△ABC时，

（符合题意）；

②当△PAQ∽△ABC时，

（符合题意）．

∴当

时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

6.答案：

分两种情况

第一种情况，图象经过第一、三象限

过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC

则由上可知：

＝90°

由双垂直模型知：

△OCA∽△ADB

∵A（2，1），

＝45°

∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB

∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1

∴D点坐标为（2，3）

∴B点坐标为（1，3）

∴此时正比例函数表达式为：

y＝3x

第二种情况，图象经过第二、四象限

过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC