解得
所以a＋b＝－
.
[答案]－
设F1，F2是椭圆
＋
＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则
的值为________．
【解析】 若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又由题意可知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2
，
解得|PF1|＝
，|PF2|＝
，所以
＝
.
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
所以|PF1|2＋（6－|PF1|）2＝20，解得|PF1|＝4或2，
又|PF1|>|PF2|，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以
＝2.
综上知，
的值为
或2.
【答案】
或2
[名师点评]
（1）本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．
（2）涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．
[变式训练]
2．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋
＝1的离心率是（ ）
A.
B.
C.
或
D.
或
D [解析]因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4.
当m＝4时，圆锥曲线
＋x2＝1是椭圆，其离心率e＝
＝
；
当m＝－4时，圆锥曲线x2－
＝1是双曲线，其离心率e＝
＝
＝
.
综上知，选项D正确．
（2016·高考全国卷甲）已知函数f（x）＝（x＋1）lnx－a（x－1）．
（1）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f
（1））处的切线方程；
（2）若当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
【解】
（1）f（x）的定义域为（0，＋∞）．当a＝4时，
f（x）＝（x＋1）lnx－4（x－1），f′（x）＝lnx＋
－3，f′
（1）＝－2，f
（1）＝0.
曲线y＝f（x）在（1，f
（1））处的切线方程为2x＋y－2＝0.
（2）当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞0等价于lnx－
＞0.
设g（x）＝lnx－
，则
g′（x）＝
－
＝
，g
（1）＝0.
（ⅰ）当a≤2，x∈（1，＋∞）时，x2＋2（1－a）x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′（x）＞0，g（x）在（1，＋∞）上单调递增，因此g（x）＞0；
（ⅱ）当a＞2时，令g′（x）＝0得
x1＝a－1－
，x2＝a－1＋
.
由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈（1，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（1，x2）上单调递减，此时g（x）＜g
（1）＝0.
综上，a的取值范围是（－∞，2]．
[名师点评] 含有参数的问题，主要包括：
（1）含有参数的不等式的求解；
（2）含有参数的方程的求解；（3）函数解析式中含参数的最值与单调性问题；（4）二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理、要不重不漏、要符合最简原则．
[变式训练]
3．已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R），求函数f（x）的极值．
[解]由题意知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
因为f′（x）＝1－
＝
（x>0），
当a≤0时，f′（x）>0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，所以函数f（x）无极值．
当a>0时，由f′（x）＝0，解得x＝a.
因为当x∈（0，a）时，f′（x）<0，当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>0，所以f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－alna，无极大值．
综上：
当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a>0时，f（x）在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．
二 转化与化归思想[学生用书P4]
（1）熟悉化原则
（2）简单化原则 （3）直观化原则
（4）正难则反原则,
（1）直接转化法
（2）换元法 （3）数形结合法 （4）构造法
（5）坐标法 （6）类比法 （7）特殊化方法 （8）等价问题法
（9）加强命题法 （10）补集法
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法
关于x的不等式x＋
－1－a2＋2a>0对x∈（0，＋∞）恒成立，则实数a的取值范围为________．
【解析】 设f（x）＝x＋
（x>0），则f（x）＝x＋
≥2
＝4.因为关于x的不等式x＋
－1－a2＋2a>0对x∈（0，＋∞）恒成立，所以a2－2a＋1<4恒成立，解得－1【答案】 （－1，3）
[名师点评]
（1）函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围．
（2）求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：
第一关是转化关，即通过分离参数法，先转化为f（a）≥g（x）（或f（a）≤g（x））对∀x∈D恒成立，再转化为f（a）≥g（x）max（或f（a）≤g（x）min）；第二关是求最值关，即求函数g（x）在区间D上的最大值（或最小值）问题．
[变式训练]
4．若关于x的方程9x＋（4＋a）·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．
[解析]设t＝3x，则原命题等价于关于t的方程t2＋（4＋a）t＋4＝0有正解．
分离变量a，得a＋4＝－
.
因为t>0，
所以－
≤－4，
所以a≤－8，即实数a的取值范围是（－∞，－8]．
[答案]（－∞，－8]
已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f′（x）－ax－5，其中f′（x）是f（x）的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）<0，则实数x的取值范围为________．
【解析】 由题意，知g（x）＝3x2－ax＋3a－5，
令φ（a）＝（3－x）a＋3x2－5，－1≤a≤1.
对－1≤a≤1，恒有g（x）<0，即φ（a）<0，
所以
即
解得－
故当x∈
时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）<0.
【答案】
[名师点评] 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的变元（或参数），将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．如本例是把关于x的函数转化为在[－1，1]内关于a的一次函数小于0恒成立的问题．
[变式训练]
5．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________．
[解析]设f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f（p）＝0.所以x≠1.
f（p）在0≤p≤4上恒为正，等价于
即
解得x>3或x<－1.
[答案]（－∞，－1）∪（3，＋∞）
课时作业[学生用书P103（独立成册）]
1．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－aA.
B.
C.
D.
C [解析]因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－
；②当C≠∅时，要使C⊆A，则
解得－
2．已知三棱柱的底面为正三角形，且侧棱垂直于底面，其侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为（ ）
A.
B.4
C.
D.4
或
D [解析]当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×
×
×4＝4
；当长、宽分别为4和6时，体积V＝
×
×
×6＝
.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝Pn－1（P是常数），则数列{an}是（ ）
A．等差数列B.等比数列
C．等差数列或等比数列D.以上都不对
D [解析]因为Sn＝Pn－1，
所以a1＝P－1，an＝Sn－Sn－1＝（P－1）Pn－1（n≥2）．
当P≠1且P≠0时，{an}是等比数列；
当P＝1时，{an}是等差数列；
当P＝0时，a1＝－1，an＝0（n≥2），此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．
4．已知变量x，y满足的不等式组
表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝（ ）
A．－
B.
C．0D.－
或0
D [解析]不等式组
表示的可行域如图（阴影部分）所示，由图可知，若要使不等式组
表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．
结合图形可知斜率k的值为0或－
.
5．若函数f（x）＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）
A.
B.（－∞，3]
C.
D.[3，＋∞）
C [解析]f′（x）＝3x2－2tx＋3，由于f（x）在区间[1，4]上单调递减，则有f′（x）≤0在[1，4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥
在[1，4]上恒成立，因为y＝
在[1，4]上单调递增，所以t≥
＝
，故选C.
6．若关于x的不等式4ax－1<3x－4（a>0，且a≠1）对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为（ ）
A.
B.
C．[2，＋∞）D.（2，＋∞）
B [解析]不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1<
x－1.令f（x）＝ax－1，g（x）＝
x－1，当a>1时，在同一坐标系中作出两
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