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2.1.1雞尾酒會問題
在盲訊號分離中，雞尾酒會問題（CocktailPartyProblem）[5]是最被廣泛討論的經典例子，其描述的狀況是在一場雞尾酒會的會場上，充滿著各式各樣的聲音，如交談聲、音樂聲、腳步聲與杯盤聲等等。
當我們身處在這種場合時，耳朵雖同時接收多種聲音來源，但卻能在這種吵雜的環境中專心於自己有興趣的聲音，而忽略其他的聲音，例如跟某一群的人在聊天時，就會自然而然的專注在聊天的內容與聲音上，而自動忽略了如音樂聲或其他人群交談的聲音，或是想聽音樂時，也能專注於音樂聲，對於其他交談聲或腳步聲也能自動忽略。
因此，若要讓電腦執行如同人耳分離出各式不同的聲音的方式，並分析出我們所感興趣的聲音，則需在不同的位置放置足夠的麥克風去記錄這些聲音，讓這些麥克風記錄各個具有不同比例訊號所混合的訊號，然後再由電腦執行分析，以擷取各種訊號。
如圖2.2所示為雞尾酒會問題示意圖，圖中的S表示各種獨立的訊號，麥克風所接收到的訊號X則表示各獨立訊號經由某種比例混合後的訊號。
假設有m個語音訊號s1（t）,s2（t）,…,sm（t），利用n支麥克風所錄製的訊號為x1（t）,x2（t）,…,xn（t），則其訊號為：
（2.1）
由公式（2.1）可發現x（t）為s（t）屬於線性疊加關係，故其矩陣形式可表示為：
（2.2）
其中A為一個
的矩陣，稱為混合矩陣（MixingMatrix）。
（2.2）式中除了x（t）是已知訊息之外，其A和s（t）皆屬於未知的資料，但我們可利用盲訊號分離的方法求出（2.2）式中混和矩陣A之逆矩陣相似的矩陣W，然後以矩陣W重建出與s（t）相似的訊號，其中W稱為解混合矩陣（De-MixingMatrix），該值為：
（2.3）
因此
（2.4）
其中u（t）為估測之重建訊號（ReconstructionSignal）。
當解混合矩陣W與混合矩陣之逆矩陣A-1越相近，則重建訊號u（t）會越近似原始訊號s（t），但由於A是未知的資訊，因此必須藉由觀測之混合訊號估算出W解混合矩陣。
圖2.2雞尾酒會問題示意圖
獨立成分分析法（IndependentComponentAnalysis,ICA）[6-9]是經常被應用在解決上述問題的一種方法，是基於訊號高階統計特性的分析方法。
如圖2.3所示，假設s1、s2為原始訊號，x1、x2則是經麥克風所觀測到的訊號（如圖2.4），並測量觀測訊號之非高斯成分（MeasureofNon-Gaussianity），藉以估計混合矩陣W，然後分析出互相獨立的各訊號分量（如圖2.5所示）。
圖2.3原始訊號s1與s2
圖2.4觀測訊號x1和x2
圖2.5獨立成分分析法分離之訊號u1和u2
2.2獨立成分分析法
獨立成分分析法是由多維數據中，找出訊號中具有統計獨立和非高斯因子或成分的一種分析方法，它是以非高斯訊號為研究的對象。
獨立成分分析法發展於90年代初期，是由法國學者Jutten和Herault首次所提出的概念[10]，他們利用類神經網路概念提出一個簡單回饋的調適演算法（adaptivealgorithm），由兩個混合的訊號中，分離出兩個獨立訊號。
而之後有許多專家學者對此算法的收斂性與穩定性做了更深入的研究[11-13]，並成功的解決收斂性與穩定性，1988年及1989年Linsker發表了對盲訊號分離研究具有重要影響的論文，他提出了最大交互資訊準則（MaximumMutualInformation）與自組織感知網路模型[14-15]，其觀念對於日後的InfomaxICA[20]影響甚深。
1994年Comon[12]將主成分分析法（PrincipalComponentAnalysis,PCA）之研究擴展為獨立成分分析法，並詳細闡述ICA的概念，界定了解決盲訊號分離之ICA的基本假設與條件，並將對比函數（ContrastFunction）的概念應用到ICA當中，對ICA的對比函數做了定義。
Comon為盲訊號分離問題給了一個清晰的輪廓，使ICA算法設計有了明確的理論依據，讓盲訊號分離的研究能迅速發展起來，因此，在Comon之後陸續有多篇研究文獻[16-18]是提出各種的對比函數與相對應的優化算法之ICA方法來實現盲訊號分離，即Comon之後的盲訊號分離都是以ICA的對比函數及其優化算法的研究。
在1995年Bell和Sejnowski發表一種基於類神經的ICA方法[19]，他們提出一種自組織學習的梯度法將非線性網路傳輸的信息量進行最大化，並說明對訊號的超高斯信號進行最大化，會使得輸出訊號之間的互信息最小化並且恢復混合訊號的各分量之統計獨立性，進而實現訊號的分離。
此篇論文則被視為ICA發展中的一個重要里程碑，因為文中所提出的迭代學習演算法成為了後續各種ICA算法的基礎。
目前比較熱門的ICA算法有兩種，第一種為Lee在1998年所提出的InfomaxICA，而另一種則是由Hyvä
rinen於1999年所提出的FastICA[6]，此方法是由類神經的學習法則出發，經由推導後可以使用較簡單的定點演算法來完成，因此其收斂速度比較快，也是其名稱的由來。
2.2.1ICA基本定理
ICA主要應用於盲訊號分離的問題上，雖然對於來源訊號以及混合矩陣的狀況是未知的，但若來源訊號是互相統計獨立的，就能將原始訊號從混合訊號中良好的分離出來。
因此，輸出訊號u（t）之間互為獨立是相當重要的目標，並且需定義出公式化與量化的目標函數（CostFunction），而獨立成分分析法的目標函數是測量獨立成分的指標，為了使得分離效果良好，目標函數必須具備下列性質：
1.一致性（Consistency）：
無論初始值為何，解混合矩陣W都必須收斂在同一點上。
2.強健性（Robustness）：
解混合矩陣W不能受到外在因素的感擾，而發生錯誤。
有了目標函數後，即可利用最佳化演算法套用於目標函數上，以找出目標函數的最佳解，來達成獨立成分的分離。
而最佳化演算法必須考量下列性質:
1.收斂的收度（ConvergenceSpeed）
2.記憶體的需求（MemoryRequirements）
3.數值的穩定度（NumericalStability）
以目前比較熱門的ICA研究而言，InfomaxICA的最佳化演算法是推測梯度法（StochasticGradientMethod），而FastICA則是以定點演算法（Fixed-PointAlgorithm）當作最佳化演算法，而它們所使用的目標函數都是由共同資訊理論（InformationTheory）[21]所推導出的。
雖然獨立成分分析法對於盲訊號分析有不錯的分離效果，但其演算法有三個基本的限制條件，分別如下:
1.所有的原始訊號si必須具備統計上獨立的特性，也就是符合P（s1,s2,…,sn）=P1（s1）P2（s2）…Pn（sn）的關係式，且各個聲音訊號在空間上是互為獨立的。
2.所有的原始訊號si必須為非高斯分布，這對於分離的效果具有很大的影響力，根據中央極限定理（CentralLimitTheorem）推論，在所有原始訊號中只允許一個成分為高斯分布。
3.觀測到的線性混合訊號xm數量至少要大於或等於獨立成分sn的數量（即m≧n）。
由於盲訊號分離最重要的混合矩陣W與原來的混合矩陣之逆矩陣A-1的相近程度，透過獨立成分分析法不斷的從觀測訊號中尋找出獨立的成分，並且利用最佳化方法增強訊號之間的獨立性，藉此估計出解混合矩陣W，其整體示意圖如圖2.6。
圖2.6利用獨立成分分析法進行訊號分離之示意圖
另外，獨立成分分析法除了目標函數的選取以及套用最佳化演算法之外，在這之前還必須對訊號進行置中化（Centering）與白色化（Whitening）的預處理動作，其目的是要從混合訊號中找出有用的資訊或將混合訊號轉換成有意義的形式，以取得更多的資訊來估算出獨立的成分。
並藉由訊號的預處理將盲訊號分離的計算複雜度降低，以減少ICA的運算時間。
而獨立成分分析法之流程圖如圖2.7所示。
圖2.7獨立成分分析法之流程圖
2.2.2置中化與白色化
對於獨立成分分析法的訊號前處理最重要的目的就是消除訊號之間的相關性並且降低運算ICA的時間，而訊號預處理包含兩個步驟，分別是置中化（Centering）與白色化（Whitening）。
置中化是將混合訊號轉換成零均值（Zero-Mean）的訊號，而白色化是將混合訊號從自相關（Correlated）的特性轉換成非相關（Uncorrelated）的訊號，經由這些處理後，可使獨立成分分析法的處理複雜度降低不少。
A.置中化（Centering）
經過置中化處理後的訊號其平均值E[X]為零（Zero-Mean），而處理後的訊號並不會損失其訊號的特性，假設混合訊號為X，則置中化的定義如下所示:
（2.5）
經過置中化處理後的訊號為
，對混合訊號做了置中化的動作也等同於對來源訊號S做了置中化。
（2.6）
（2.7）
（2.8）
分離矩陣A即使在執行置中化後，依然保持不變，在進行演算法之前，對原始信號假設為零均值的訊號，可以簡化獨立成分分析法的推導過程加快的執行速度。
B.白色化（Whitening）
以統計學的觀點來看，若隨機向量的隨機變數符合非相關（Uncorrelated）的條件，且其共變異矩陣（CovarianceMatrix）為單位矩陣I，則稱白色化（Whitening）。
（2.9）
其中Cx為置中化後的混合訊號之共變異矩陣，而白色化比非相關特性的獨立程度稍強，但是跟獨立性（Independent）相比則是較弱的，以下利用一隨機矩陣X來表示相關特性、非相關特性、白色化與獨立性之條件，其中隨機矩陣X包含了兩個隨機向量x1與x2，其表示如表1。
表1獨立程度比較表
種類
條件
獨立程度
獨立性（Independent）
強
弱
白色化
（White）
非相關性（Uncorrelated）
相關性
（Correlated）
要使混合訊號從相關的訊號轉變成非相關的訊號，經常利用主成分分析法（PrincipalComponentAnalysis
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