数学知识点苏教版高中数学必修113《交集并集》word教案总结Word下载.docx
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[生]图
(1)给出了两个集合A、B.
图
(2)阴影部分是A与B公共部分.
图(3)阴影部分是由A、B组成.
图(4)集合A是集合B的真子集.
图(5)集合B是集合A的真子集.
师进一步指出
图
(2)阴影部分叫做集合A与B的交集.
图(3)阴影部分叫做集合A与B的并集.
由
(2)、(3)图结合其元素的组成给出交集定义.
1.交集
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集.
记作A∩B(读作“A交B”)
即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
借此说法,结合图(3),请同学给出并集定义
2.并集
一般地,由所有属于A或属于B的元素组成的集合,叫做集合A与B的并集.
A与B的并集记作A∪B(读作“A并B”)
即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
学生归纳以后,教师给予纠正.
那么图(4)、图(5)及交集、并集定义说明A∩B=A{图(4)},A∩B=B{图(5)}
3.例题解析(师生共同活动)
[例1]设A={x|x>-2},B={x|x<3},求A∩B.
解析:
此题涉及不等式问题,运用数轴即利用数形结合是最佳方案.
解:
在数轴上作出A、B对应部分,如图A∩B为阴影部分
A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2<x<3}
[例2]设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A∩B.
此题运用文氏图,其公共部分即为A∩B.
如右图表示集合A、集合B,其阴影部分为A∩B.
A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}={x|x是等腰直角三角形}
[例3]设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.
运用文氏图解答该题
如右图表示集合A、集合B,其阴影部分为A∪B
则A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.
[例4]设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∪B.
A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}
{例5}设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B.
利用数轴,将A、B分别表示出来,则阴影部分即为所求.
将A={x|-1<x<2}及B={x|1<x<3}在数轴上表示出来.如图阴影部分即为所求.
A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}
[师]设a,b是两个实数,且a<b,我们规定:
实数值R也可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”,我们还可以把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别表示为[a,+∞],(a,+∞),(-∞,b),(-∞,b).
Ⅲ.课堂练习
1.设a={3,5,6,8},B={4,5,7,8},
(1)求A∩B,A∪B.
(2)用适当的符号(
、
)填空:
A∩B_____A,B_____A∩B,A∪B______A,A∪B______B,A∩B_____A∪B.
(1)因A、B的公共元素为5、8
故两集合的公共部分为5、8,则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}
又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8.
故A∪B={3,4,5,6,7,8}
(2)由文氏图可知
A∩B
A,B
A∩B,A∪B
A,A∪B
B,A∩B
A∪B
2.设A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B.
因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5
故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}
3.设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B.
因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.
A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}=
4.设A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.
在数轴上将A、B分别表示出来,阴影部分即为A∪B,故A∪B={x|x>-2}
5.设A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},求A∪B.
因矩形是平行四边形.故由A及B的元素组成的集合为A∪B,A∪B
={x|x是平行四边形}
6.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B.
M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集,关键是找其元素.
∵M={1},N={1,2}则A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}.
Ⅳ.课时小结
在求解问题过程中要充分利用数轴、文氏图,无论求解交集问题,还是求解并集问题,关键还是寻求元素.
Ⅴ.课后作业
课本P13习题1.32~7
参考练习题:
1.设A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},则A∩B=_______,A∪B=_______.
对任意m∈A,则有m=2n=2·
2n-1,n∈N*因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B
即对任意m∈A有m∈B,所以A
B,而10∈B但10
A,即A
B,那么A∩B=A,A∪B=B.
评述:
问题的求解需要分析各集合元素的特征,以及它们之间关系,利用真子集的定义证明A是B的真子集,这是一个难点,只要突破该点其他一切都好求解.
2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.
满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3}还可含1或2,其中一个有{1,3},{2,3},还可含1、2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.
问题解决的关键在于集合B的元素可以是什么数,分类讨论在解题中作用不可忽视.以集合B元素多少进行分类.
3.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C分别是什么?
因A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上作图,则A∩B={x|0<x<5},B∪C={x|0<x},A∩B∩C=
将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.
4.设A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求A.
因A∩B={9},则a-1=9或a2=9
a=10或a=±
3
当a=10时,a-5=5,1-a=-9
当a=3时,a-1=2不合题意.
a=-3时,a-1=-4不合题意.
故a=10,此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9},那么a=10.
合理利用元素的特征——互异性找A、B元素.
5.已知A={y|y=x2-4x+6,x∈R,y∈N},B={y|y=-x2-2x+7,x∈R,y∈N},
求A∩B,并分别用描述法,列举法表示它.
y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,A={y|y≥2,y∈N}
又y=-x2-2x+7=-(x+1)2+8≤8
∴B={y|y≤8,y∈N}
故A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}.
此题注意组成集合的元素有限,还是无限.集合的运算结果,应还是一个集合.
6.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A
(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?
由题有:
A
A∩B,即A
B,A非空,用数轴表示为,
那么
由方程表示为:
6≤a≤9
要使A
A∩B,需A
A且A
B,又A
A恒成立,故A
B,由数轴得不等式.注意A是非空.若去掉这一条件效果如何.求解过程及结果是否会变化.请思考.
交集、并集
(二)
使学生掌握集合交集及并集有关性质,运用性质解决一些简单问题,掌握集合的有关术语和符号;
提高分析、解决问题的能力和运用数形结合求解问题的能力;
使学生树立创新意识.
利用交集、并集定义进行运算.
集合中元素的准确寻求
集合的交集、并集相关问题的求解主要在于集合元素寻求.
[例1]求符合条件{1}
P
{1,3,5}的集合P.
(1)题中给出两个已知集合{1},{1,3,5}与一个未知集合P,欲求集合P,即求集合P中的元素;
(2)集合P中的元素受条件{1}
{1,3,5}制约,两个关系逐一处理,由{1}与P关系{1}
P,知1∈P且P中至少有一个元素不在{1}中,即P中除了1外还有其他元素;
由P与{1,3,5}关系P
{1,3,5},知P中的其他元素必在{1,3,5}中,至此可得集合P是{1,3}或{1,5}或{1,3,5}.
[例2]已知U={x|x2<50,x∈N},(CUM)∩L={1,6},M∩(CUL)={2,3},CU(M∪L)={0,5},求M和L.
题目中出现U、M、L、CUM、CUL多种集合,就应想到用上面的图形解决问题.
第一步:
求全集5={x|x2<50,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}
第二步:
将(CUM)∩L={1,6},M∩(CUL)={2,3},CU(M∪L)={0,5}中的元素在图中依次定位.
第三步:
将元素4,7定位.
第四步:
根据图中的元素位置得M={2,3,4,7},N={1,6,4,7}.
[例3]50名学生报名参加A、B两项课外学科小组,报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三,报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人,两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人,求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数.
此题是一道应用题,若用建模则寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图
设A∩B的元素为x个,则有
(30-x)+x+(33-x)+(
x+1)=50,可得
x=21,
x+1=8那么符合