浙教版中考数学难题突破专题八类比拓展探究题含答案Word文档下载推荐.docx

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②根据①的结论得到________，由此可证明．

（2）设DH＝x，由题意，可得CD＝________，CH＝________（用含x的代数式表示），由△ACE∽△HCF，得

＝

，由此即可证明．

（3）如图③，过点C作CN⊥AD于N，CM⊥BA，交BA的延长线于点M，CM与AD交于点H.先证明△CFN∽△CEM，得

，由AB·

CM＝AD·

CN，AD＝3AB，推出CM＝3CN，所以

，设CN＝a，FN＝b，则CM＝3a，EM＝3b，想办法求出AC，AE＋3AF即可解决问题．

2[2016·

舟山]我们定义：

有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．

（1）概念理解

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究

如图Z8－2①，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展

如图②，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°

，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°

＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图③），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

图Z8－2

（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”的条件；

（2）连结PD，PC，根据PE，PF分别为AD，BC的垂直平分线，可得到PA＝________，PB＝________，

∠DAP＝________＝∠ABC＝________，从而可得∠APC＝∠DPB，利用SAS可证得△APC≌△DPB，即可得到AC＝BD.

（3）分两种情况考虑：

（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，由S四边形ACBD′＝S△ACE－S△BED′，求出四边形ACBD′的面积；

（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°

时，过点D′作D′E⊥AC于点E，由S四边形ACBD′＝S△AED′＋S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′的面积即可．

专题训练

1．[2017·

淮安]【操作发现】

如图Z8－3，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

图Z8－3

（1）请按要求画图：

将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°

，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连结BB′；

（2）在

（1）所画图形中，∠AB′B＝________．

【问题解决】

如图Z8－4，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°

，∠BPC＝120°

，求△APC的面积．

图Z8－4

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一：

将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°

，得到△AP′B，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；

想法二：

将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°

，得到△AP′C′，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．

……

请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（―种方法即可）

【灵活运用】

如图Z8－5，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

图Z8－5

2．[2017·

连云港]问题呈现：

如图Z8－6①，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AE＝DG.

求证：

2S四边形EFGH＝S矩形ABCD.（S表示面积）

图Z8－6

实验探究：

某数学实验小组发现：

若图①中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化．分别过点E，G作BC边的平行线，再分别过点F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1.

如图②，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG>

AE），经过探索，发现：

2S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1.

如图③，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG<

AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题．

（1）如图Z8－7，点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH>

BF，AE>

DG，S四边形EFGH＝11，HF＝

，求EG的长．

图Z8－7

（2）如图Z8－8，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，H分别在边AB，AD上，BE＝1，DH＝2，点F，G分别是边BC，CD上的动点，且FG＝

，连结EF，HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

图Z8－8

3.[2017·

盐城]

【探索发现】

如图Z8－9①是一张直角三角形纸片，∠B＝90°

，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大．随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：

矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．

图Z8－9

【拓展应用】

如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为________．（用含a，h的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

【实际应用】

如图Z8－10，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC＝

，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

图Z8－10

参考答案

例1　【例题分层分析】

（1）①等边　∠ACF　②BE＝AF　

（2）2x　

x

解：

（1）证明：

①∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°

，∴∠D＝∠B＝60°

.∵AD＝AB，

∴▱ABCD是菱形，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠B＝∠CAD＝60°

，∠ACB＝60°

，BC＝AC.

∵∠ECF＝60°

，

∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACF＋∠ACE＝60°

∴∠BCE＝∠ACF.

在△BCE和△ACF中，

∴△BCE≌△ACF.

②∵△BCE≌△ACF，∴BE＝AF，

∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB＝AC.

（2）证明：

设DH＝x，由题意，CD＝2x，CH＝

x，

∴AD＝2AB＝4x，∴AH＝AD－DH＝3x.

∵CH⊥AD，∴AC＝

＝2

∴AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°

∴∠BAC＝∠ACD＝90°

，∴∠CAD＝30°

∴∠ACH＝60°

，∴∠HCF＝∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴

＝2，∴AE＝2FH.

（3）如图，过点C作CN⊥AD于N，CM⊥BA，交BA的延长线于M，CM与AD交于点H.

∵∠ECF＋∠EAF＝180°

∴∠AEC＋∠AFC＝180°

.

∵∠AFC＋∠CFN＝180°

∴∠CFN＝∠AEC.

∵∠M＝∠CNF＝90°

，∴△CFN∽△CEM，

∴

∵AB·

CN，AD＝3AB，

∴CM＝3CN，∴

设CN＝a，FN＝b，则CM＝3a，EM＝3b，

∵∠MAH＝60°

，∠M＝90°

∴∠AHM＝∠CHN＝30°

∴HC＝2a，HM＝a，HN＝

a，

∴AM＝

a，AH＝

∴AC＝

AE＋3AF＝（EM－AM）＋3（AH＋HN－FN）＝EM－AM＋3AH＋3HN－3FN＝3AH＋3HN－AM＝

故答案为

例2　【例题分层分析】

（2）PD　PC　∠ADP　∠BCP

（1）矩形或正方形．

（2）AC＝BD，理由如下：

连结PD，PC，如图①所示：

∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA＝PD，PC＝PB，

∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，

∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝2∠PBC，

又∠PAD＝∠PBC，

∴∠APC＝∠DPB，

∴△APC≌△DPB（SAS），

∴AC＝BD.

（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图②所示，

∴∠ED′B＝∠EBD′，

∴EB＝ED′.

∵BC＝B′D′＝3，AB＝AB′＝5，

∴AC＝AD′＝4.

设EB＝ED′＝x，

由勾股定理得42＋（3＋x）2＝（4＋x）2，

解得x＝4.5.

过点D′作D′F⊥CE于F，

∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，

，即

解得D′F＝

∴S△ACE＝

AC×

EC＝

×

4×

（3＋4.5）＝15，S△BED′＝

BE×

D′F＝

4.5×

∴S四边形ACBD′＝S△ACE－S△BED′＝15－

＝10

时，过点D′作D′E⊥AC于点E，

如图③所示，

∴四边形ECBD′是矩形，

∴ED′＝BC＝3.

在Rt△AED′中，根据勾股定理得

AE＝

∴S△AED′＝

AE×

ED′＝

3＝

，S矩形ECBD′＝CE×

CB＝（4－

）×

3＝12－3

则S四边形ACBD′＝S△AED′＋S矩形ECBD′＝

＋12－3

＝12－

专题训练

1．解：

【操作发现】

（1）如图①所示．

（2）45°

如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°

，得到△AP′B，连结PP′，则AP′＝AP，∠PAP′＝60°

，∠AP′B＝∠APC.

∴△APP′是等边三角形．

∴∠APP′＝∠AP′P＝60°

∵AP⊥PC，∴∠APC＝90°

.又∵∠BPC＝120°

∴∠APB＝360°

－∠APC－∠BPC＝360°

－90°

－1