3矩阵特征值与特征向量的计算Word格式.docx
《3矩阵特征值与特征向量的计算Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3矩阵特征值与特征向量的计算Word格式.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
定理称A的n个特征值全落在n个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。
3.1.2盖氏圆的连通部分
称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。
孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。
定理3.1-2若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A的k个特征值。
证明:
令D=diag（a11，a12，…，ann），M=A–D，记
则显然有A
（1）=A，A（0）=D，易知A（）的特征多项式的系数是的多项式，从而A（）的特征值1（），2（），…，n（）为的连续函数。
A（）的盖氏圆为：
因为A（0）=D的n个特征值a11，a12，…，ann，恰为A的盖氏圆圆心，当由0增大到1时，i（）画出一条以i（0）=aii为始点，i
（1）=i为终点的连续曲线，且始终不会越过Gi；
不失一般性，设A开头的k个圆盘是连通的，其并集为S，它与后n–k个圆盘严格分离，显然，A（）的前k个盖氏圆盘与后n–k个圆盘严格分离。
当=0时，A（0）=D的前k个特征值刚好落在前k个圆盘G1，…，Gk中，而另n–k个特征值则在区域S之外，从0变到1时，
与
始终分离（严格）。
连续曲线始终在S中，所以S中有且仅有A的k个特征值。
1）每个孤立圆中恰有一个特征值。
2）例1中G2，G4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而G1，G3构成的连通部分应含有两个特征值。
3）因为例1中A为实方阵，所以若λ为A的特征值，则
也是A的特征值，所以G2，G4中各有一个实特征值。
3.1.3盖氏圆与相似变换
由于特征值是相似不变量，所以代数上常用相似变换将矩阵化简以得到特征向量，这里也可用相似变换将盖氏圆的半径变小，以得到更好的估计。
原理：
取对角阵作相似变换阵：
P=diag（b1，b2，…，bn）其中bi>
0，i=1，2，…，n
则
与A有相同特征值.
而B的第i个盖氏圆为：
，
适当选取b1，b2，…，bn就有可能使B的某些盖氏圆的半径比A的相应盖氏圆的半径小。
1）欲缩小Gi，可取bi最大。
2）欲缩小除Gi外的圆，可取bi最小。
例2，估计
的特征值范围。
A的三个盖氏圆分别为：
|z–0.9|≤0.13}；
|z–0.8|≤0.14}；
|z–0.4|≤0.03}
3∈G3，较好。
为了更好地估计另外两个特征值可取b3最小：
取b1=b2=1，b3=0.1即
，则
所以G1'
={z：
|z–0.9|≤0.022}；
G2'
|z–0.8|≤0.023}；
G3'
|z–0.4|≤0.3}
三个盖氏圆分离，故有1∈G1'
，2∈G2'
，3∈G3。
3.2幂法与反幂法
幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量的一种迭代法。
3.2.1幂法
设An有n个线性相关的特征向量v1，v2，…，vn，对应的特征值1，2，…，n，满足
|1|>
|2|≥…≥|n|
（
1.基本思想
因为{v1，v2，…，vn}为Cn的一组基，所以任给x（0）≠0，
——线性表示
所以有
（3.2-2）
若a1≠0，则因
知，当k充分大时A（k）x（0）≈1ka1v1=cv1属1的特征向量
另一方面，记max（x）=xi，其中|xi|=||x||∞，则当k充分大时，
若a1=0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v1方向上的分量不为0，迭代下去可求得1及对应特征向量的近似值。
2.规范化
在实际计算中，若|1|>
1则|1ka1|→∞，若|1|<
1则|1ka1|→0都将停机。
须采用“规范化”的方法
，k=0，1，2，…（3.2-4）
定理3.2-1任给初始向量
有，
（3.2-5）
而
若
的特征值不满足条件（，幂法收敛性的分析较复杂，但若1=2=…=r且|1|>
|r+1|≥…≥|n|则定理结论仍成立。
此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向于1的不同特征向量。
3.算法
求maxa（x）的流程，设数组x（n）数向量x的n个分量
数组x=[n]
k=1
for（i=2ton,i++）
若|x[i]|>
|x[k]|
T
k=i
max=x[k]
幂法流程：
输入数组x0,eps,A
x1=x0
y=x1/maxa（x1）
x0=Ay
|maxa（x1）–maxa（x0）|<
eps
输出y,maxa（x0）
例1，用幂法求
的最大模特征值及对应特征向量
见P312
functiony=maxa（x）
k=1;
n=length（x）;
fori=2:
n
if（abs（x（i））>
abs（x（k））,k=i;
end;
end;
y=x（k）;
A=[2,4,6;
3,9,15;
4,16,36];
x0=[1;
1;
1];
y=x0/maxa（x0）
x1=A*y
while（abs（maxa（x1）-maxa（x0）））>
0.001
x0=x1;
y=x0/maxa（x0）
x1=A*y
y
maxa（x1）
3.2.2加速方法
幂法的迭代公式：
当k→∞时
，max（x（k））→1，其中|1|>
|2|≥…≥|n|
幂法的收敛速度取决于比值|2|/|1|，考虑收敛加速
1.特征值的Aitken加速法
（1）思想：
由定理
（
解之得
使用1（k+2）作为1的近似值的算法称为Aitken加速法。
（2）Aitken加速法
设{xk}线性收敛到x*，即存在c，|c|<
1，满足
xk+1–x*=（c–k）（xk–x*），其中
令
算法：
计算
流程图
输入x0
计算max（x0），y0=x0/max（x0）
计算x1=Ay0，max（x1），y1=x1/max（x1）
x2=Ay1，λ1=λ0
计算max（x2）
y2=x2/max（x2）
λ0=max（x2）-[max（x2）-max（x1）]^2/[max（x2）-2max（x1）+max（x0）]
x0=x1，x1=x2
|λ1-λ0|>
输出λ0
例2用幂法求方阵A的最大模特征值，并用Aitkem加速法
见（P314）
y0=x0/maxa（x0）
x1=A*y0;
y1=x1/maxa（x1）
x2=A*y1;
y2=x2/maxa（x2）
l0=maxa（x2）-（maxa（x2）-maxa（x1））^2/（maxa（x2）-2*maxa（x1）+maxa（x0））
while（abs（l1-l0））>
0.01
x1=x2;
l1=l0;
x2=A*y2
maxk=maxa（x2）
y2=x2/maxk
l0=maxa（x2）-（maxa（x2）-maxa（x1））^2/（maxa（x2）-2*maxa（x1）+maxa（x0））
2.原点平移法
思想：
由矩阵论知，若为A的特征值则–a为A–aI的特征值，且特征向量相同。
若1–a为A–aI的最大模特征值，且
。
（k–a是A–aI的次最大模特征值），则对A–aI计算1–a及对应的特征向量比对
计算收敛得快，此即为原点平移法。
计算1–a及特征向量的迭代公式
特征向量：
，max（x（k））→1–a，⇒a+max（x（k））→1。
a的选取较为困难。
例3设
，求最大模特征值及特征向量。
（P315）
幂法：
A=[-3,1,0;
1,-3,-3;
0,-3,4];
x0=[0;
0;
k=k+1
原点平移法：
x1=（A+4*eye（3））*y
x1=（A+4*eye（3））*y
maxa（x1）-4
3.对称矩阵的Rayleigh商加速法
定义设A对称，x≠0，则称
为
关于
的Rayleigh商
A对称
特征值1，2，…，n均为实数，且存在特征向量v1，v2，…，vn为标准正交基。
设
，a1≠0，则
当k充分大时，M'
与k无关）
注；
此比Aitken加速中的（3.2-6）更快
公式
称为Rayleigh商加速法。
其中
有了R（x（k）），R（x（k+1）），R（x（k+2）），的值，可再用Aitken加速法得到
的一个更好的近似值：
所以
例4设
，用Rayleigh商加速法求
的最大模特征值及特征向量，并与幂法相比较。
（P317）
A=[6,2,1;
2,3,1;
1,1,1];
Rayleigh商加速法：
r=0;
while（abs（r1-r））>
r1=r;
r=y'
*x1/（y'
*y）
r
3.2.3反幂法
——用
代替
作幂法，即反幂法
1.
升级会员 