（4）两圆内切⇔d＝R－r（R>r）；
（5）两圆内含⇔dr）．
注意：
两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆．
重点：
两圆的位置关系
难点：
两圆的位置关系
知识点五：
三角形多边形的内切圆
1．与三角形（多边形）内切圆有关的一些概念
（1）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；
（2）和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
2．三角形的内心的性质：
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部.
重点：
与三角形（多边形）内切圆有关的一些概念。
难点：
三角形的内心的性质.
【考点解析】
考点一：
直线与圆的位置关系
【例题1】（2017广西百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2B．﹣2C．﹣22D．﹣2＜b＜2
【考点】MB：
直线与圆的位置关系；F7：
一次函数图象与系数的关系．
【分析】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：
当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB=OC=2．即b=2；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．
【例题2】（2017广西百色）已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．
【考点】MI：
三角形的内切圆与内心．
【分析】
（1）易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解题；
（2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根据AE长度即可解题．
【解答】解：
（1）△ABC为等腰三角形，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，
∵=，
∴∠EOF=∠DOE，
∴∠B=∠C，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，
∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中点，BE=CE，
∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AF=AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，
Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，
∴AD=AF，BD=CF，
∴DF∥BC，
∴=，
∵AE==4，
∴AM=4×=．
【例题3】（2017浙江衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．
（1）求证：
△COD∽△CBE．
（2）求半圆O的半径r的长．
【考点】S9：
相似三角形的判定与性质；MC：
切线的性质．
【分析】
（1）由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE．
（2）由勾股定理求出BC==15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．
【解答】
（1）证明：
∵CD切半圆O于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠CDO=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠E=90°=∠CDO，
又∵∠C=∠C，
∴△COD∽△CBE．
（2）解：
在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，
∴BC==15，
∵△COD∽△CBE．
∴，即，
解得：
r=．
考点二、其它与圆的位置关系
【例题4】（2017.湖南怀化）如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．
（1）求证：
△ACD∽△BAD；
（2）求证：
AD是⊙O的切线．
【考点】S9：
相似三角形的判定与性质；MD：
切线的判定．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．
【解答】证明：
（1）∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D，
∴∠CAD=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
【中考热点】
（2017山东聊城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．
（1）求证：
PD是⊙O的切线；
（2）求证：
△PBD∽△DCA；
（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．
【考点】S9：
相似三角形的判定与性质；ME：
切线的判定与性质．
【分析】
（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（3）由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB=DC，根据
（2）的相似，得比例，求出所求即可．
【解答】
（1）证明：
∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径，
∴PD是圆O的切线；
（2）证明：
∵PD∥BC，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠P=∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PBD=∠ACD，
∴△PBD∽△DCA；
（3）解：
∵△ABC为直角三角形，
∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，
∴BC=10，
∵OD垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，
∴DC=DB=5，
∵△PBD∽△DCA，
∴=，
则PB===．
【达标检测】
一、选择题：
1.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
【考点】切线的性质．
【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
【解答】解：
如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°．
又∵∠P=40°，
∴∠∠PAO=50°，
∴∠ABC=∠PAO=25°．
故选：
B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．
2.（2017山东泰安）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
【考点】MC：
切线的性质；M6：
圆内接四边形的性质．
【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：
∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，
∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，
∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，
∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，
∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，
∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°；
故选：
A．
3.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是
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