正弦定理公式Word格式文档下载.docx

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中，已知两角

的三角函数值，求第三个角

存在

。

证明：

有解

即，要判断

是否有解，只需

（2）正弦定理

中，已知两角和任意一边，解三角形；

②在

中，已知两边和其中一边对角，解三角形；

（3）余弦定理

中，已知三边，解三角形；

中，已知两边和他们的夹角，解三角形。

直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况，是我们常见、常讲、常练的，因此，在这里就不加赘述，同学们可以自己从教材中找一些题目看一看！

二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理

（1）齐次式条件（边或角的正弦）

若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式，可以根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化；

有些题中没有明显的齐次式，但经过变形得到齐次式的依然适用。

1.相同角齐次式条件的弦切互化

【例】在

中，若

，

，求

【解析】无论是条件中的

，还是

都是关于一个角的齐次式。

是关于

的一次齐次式；

的二次齐次式。

因此，我们将弦化切，再利用三角公式求解。

由

或

在

中，

，且

代值可得：

①当

时，

②当

（舍去）。

2.不同角（正弦）齐次式条件的边角互化

的面积。

【解析】条件

是关于不同角正弦的二次齐次式。

因此，我们利用正弦定理将角化为边，然后根据边的关系利用余弦定理求解。

显然这个形式符合余弦定理的公式，因此，可得

又因为

，所以

3.不同边齐次式条件的边角互化

【例】

的内角

的对边分别为

已知

是关于不同边的一次齐次式。

因此，我们利用正弦定理将边化为角，然后由

将不同角转化为同角,利用化一公式求解。

，又

，可得：

，运用化一公式得

4.边角混合齐次式条件的边角互化

①边角混合——边为齐次式

是边角混合——关于不同边的一次齐次式，由于所求为切的值，所以将边化为角，然后将弦化为切求解。

，则

②边角混合——角（正弦）为齐次式

是边角混合——角（正弦）为不同角的一次齐次式。

因此，我们将角的正弦化为边，然后根据等式形式利用余弦定理求解。

，由于

，我们可以得到：

，显然这个形式符合余弦定理公式，因此，可得

从而得出

③边角混合——边、角（正弦）都为齐次式

是边角混合——边、角（正弦）各为一次齐次式。

因此，我们可以随意边角互化，但是一般将角转化为边求解。

显然这个形式符合余弦定理公式，因此，可得

5.非三角形内角正弦但可化为角（正弦）齐次式

，求证：

的三边成等比数列。

显然不是齐次式，并且角也不全是三角形的内角。

因此，首先得把这些角转变为三角形的内角，然后再往齐次式化利用正弦定理求解。

，只要将

变换为

，题中的条件就变成了关于不同内角正弦的二次齐次式：

（2）不同边的平方关系（余弦定理）

若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系，可以选用余弦定理边角互化，在上面的一些情况中，有利用正弦定理转化出不同边的平方关系，可以作为参考例题。

含有不同边的平方关系，形式显然符合余弦定理公式。

（3）存在消不掉的正弦、余弦值（两定理同时使用，边角互化）

若题目条件中的条件不是上述情况，且始终含有消不去的内角正弦、余弦，可以同时使用正弦、余弦定理边角互化，要么都化为角（正弦、余弦），要么都化为边。

中，已知

【解析】由题目中条件

可得

接下来再利用余弦定理可得

因为

解三角形运用的原理简单，但是题目灵活多变，往往使学生感觉不易下手，以上结合例题谈了一下通过题中条件的特征，利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略，但这仅仅是初探，更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。

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