尺规作图专题.docx
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尺规作图专题
尺规作图专题
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尺规作图专题
1、尺规作图的定义
所谓尺规作图，就是只准有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图。
最早提出几何作图要有尺规限制的是古希腊的哲学家安那萨哥拉斯。
他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被处死刑。
传说，在监狱里，他思考化圆为方以及其它有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活。
他不可能用规范的作图工具，只能用一根绳子画图，用随便找来的破木棍、竹片之类作直尺，当然这些“尺”上就不可能有刻度。
另外，对他来说，时间是不多了。
因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题。
后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里得，他在《几何原本》中对作图作了三条规定（公设）。
由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。
2、尺规作图的要求
①直尺必须没有刻度，可以无限长，且只能使用直尺的固定一侧。
只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。
②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。
它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度.
3、尺规作图的三大不能为问题
古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。
他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。
漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。
到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
①三等分角问题：
将任一个给定的角三等分。
②立方倍积问题：
求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体
体积的二倍。
③化圆为方问题：
求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
这就是著名的古代几何作图三大难题，它们在《几何原本》问世之前就提出了，
随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
4、初中几个最基本的尺规作图
一.已知一线段
1.作已知线段的中点
2.作已知线段的垂线
3.作已知线段的垂直平分线
4.过一点作已知直线的垂线
5.作已知线段的三等分点
6.过直线外一点作已知直线的平行线
二.已知一角
1.作一角与已知角相等
2.作已知角的角平分线
1
针对性练习
1、（2008东莞）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8,用尺规作图作BC边上的中线AD，（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）并求AD的长。
2、（2008成都）如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM、ON上确定点B、点C，使△ABC的周长最小.写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点
（要求画出草图，保留作图痕迹）
3、（2008广州）如图9，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且
（1）求证：
AC=AE
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）求证：
EF平分∠CEN
2
4、（2008丽水）如图是2008北京奥运会某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成
、
、
三个不同的票价区．其中与场地边缘
的视角大于或等于45°，并且距场地边缘
的距离不超过30米的区域划分为
票区，
票区如图所示，剩下的为
票区．
（1）请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出
票区所在的区域（只要求作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，
请估算
票区有多少个座位．
5、（2008连云港）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段
的最小覆盖圆就是以线段
为直径的圆．
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？
请写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某地有四个村庄
（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？
请说明理由．
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6、（2008宁波）
（1）如图1，
中，
，请用直尺和圆规作一条直线，把
分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？
若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
7、（2008山东济宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明
的依据是．
8、（2008太原）如图，在
中，
．
（1）在图中作出
的内角平分线
．（要求：
尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）
（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由．
9、（2008孝感）宽与长的比是
的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）：
第一步：
作一个任意正方形
；
第二步：
分别取
的中点
，连接
；
第三步：
以
为圆心，
长为半径画弧，交
的延长线于
；
第四步：
过
作
交
的延长线于
，
请你根据以上作法，证明矩形
为黄金矩形，（可取
）
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10、（08建设兵团）
（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）
（2）写出你的作法．
11、（08浙江衢州）如图，AB∥CD
（1）用直尺和圆规作
的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在
（1）中作出的线段CE上取一点F，连结AF。
要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？
请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）。
12、（2008自贡）在下面△ABC中，用尺规作出AB边上的高及∠B的平分线（不写作法，保留作图痕迹）
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13、（2207杭州）右图为一机器零件的左视图，弧
是以
为半径的
个圆周，
。
请你只用直尺和圆规，按2∶1的比例，将此零件图放大
画出来。
要求写出作图方法，并保留作图痕迹。
14、（2207河南）请你画出一个以BC为底边的等腰ΔABC，使底边上的高AD=BC．
（1）求tanB和sinB的值；
（2）在你所画的等腰ΔABC中设底边BC=5米，求腰上的高BE．
15、作图题（2007青岛）
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等．
（1）若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置；
（2）若∠BAC＝66º，则∠BPC＝º.
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16、（2007兰州）在Rt△ABC中，∠ACB=
，∠CBA=
，用两种方法把它分成两个三角形，且要求一个三角形是等腰三角形（要求尺规作图，不写作法和证明，但保留作图痕迹）。
17、（2007宜昌）如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）然后证明当：
AD∥BC，AD=BC，∠ABC=2∠ADG时，DE=BF.
18．（2007嘉兴）现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．实施操作：
将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点B´．
（1）请用尺规，在图中作出△AEB´（保留作图痕迹）；
（2）试求B´、C两点之间的距离．
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19、（2007梅州）如图，
是平行四边形
的对角线．
（1）请按如下步骤在图7中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以
为圆心，以大于
长为半径画弧，弧在
两侧的交点分别为
；
②连结
分别与
交于点
．
（2）求证：
．
20、（2007山东临沂）如图，已知矩形ABCD。
（1）在图中作出△CDB沿对角线BD所在的直线对折后的△C’DB，C点的对应点为C’（用尺规作图，保留清晰的作图痕迹，简要写明作法）；
（2）设C’B与AD的交点为E，若△EBD的面积是整个矩形面积的
，求∠DBC的度数。
21、（2007湘潭）2008年，举世瞩目的第29届奥运盛会将在北京举行．奥运五环，环环相扣，象征着全世界人民的大团结．五环图中五个圆环均相等，其中上排三个、下排两个，且上排的三个圆心在同一直线上；五环图是一个轴对称图形．
（1）请用尺规作图，在图24—1中补全奥运五环图，心怀奥运．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）五环图中五个圆心围一个等腰梯形．如图24—2，在等腰梯形
中，
．假设
，求梯形的面积．
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