版高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究学案北师大版必修1 1.docx

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版高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究学案北师大版必修11

4二次函数性质的再研究

学习目标　1.掌握配方法，理解a，b，c（或a，h，k）对二次函数图像的作用.2.理解由y＝x2到y＝a（x＋h）2＋k的图像变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4.掌握二次函数的性质．

知识点一　二次函数的配方法

思考　y＝4x2－4x－1如何配方？

你能由此求出方程4x2－4x－1＝0的根吗？

梳理　对于一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），可类似地配方为y＝a（x＋）2＋，由此可得二次函数的值域、顶点等性质，y＝x2与y＝ax2＋bx＋c图像间的关系以及二次方程求根公式等．所以配方法是非常重要的数学方法．

知识点二　图像变换

思考　y＝x2和y＝2（x＋1）2＋3的图像之间有什么关系？

梳理　由y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的a倍，左移个单位，上移个单位，可得y＝a（x＋）2＋的图像，即y＝ax2＋bx＋c的图像．

知识点三　二次函数的三种形式

思考　我们知道y＝x2－2x＝（x－1）2－1＝（x－2）x，那么点（1，－1），数0,2是y＝x2－2x的什么？

梳理　

（1）二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

（2）如果已知二次函数的顶点坐标为（－h，k），则可将二次函数设为y＝a（x＋h）2＋k.

（3）如果已知方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2（即抛物线与x轴交点横坐标），可设为y＝a（x－x1）（x－x2）．

知识点四　二次函数的性质

函数

二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋）2＋（a，b，c是常数，且a≠0）

图像

性质

开口

向上

向下

对称轴方程

x＝－

x＝－

顶点坐标

（－，）

（－，）

单调性

在区间（－∞，－]上是减函数，在区间[－，＋∞）上是增函数

在区间（－∞，－]上是增函数，在区间[－，＋∞）上是减函数

最值

当x＝－时，y有最小值，ymin＝

当x＝－时，y有最大值，ymax＝

类型一　二次函数解析式的求解

例1　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴相交于点A（－3,0），对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．

反思与感悟　求二次函数解析式的步骤

跟踪训练1　

（1）y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x交于点A（1，m），求a.

（2）f（x）＝x2＋bx＋c，若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，求f（x）．

类型二　二次函数的图像及变换

例2　由函数y＝x2的图像如何得到f（x）＝－x2＋2x＋3的图像．

引申探究

利用f（x）＝－x2＋2x＋3的图像比较f（－1），f

（2）的大小．

反思与感悟　处理二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像问题，主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴、y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系．

在图像变换中，记住“h正左移，h负右移，k正上移，k负下移”．

跟踪训练2　二次函数f（x）＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数f（x）＝x2－2x＋1的图像，则b＝______，c＝______.

类型三　二次函数的性质

例3　已知函数f（x）＝x2－3x－：

（1）求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值；

（2）若x∈[1,4]，求函数值域．

反思与感悟　解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决．

跟踪训练3　已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．

1．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）与g（x）＝bx2＋ax＋c（b≠0）的图像可能是下图中的（　　）

2．设二次函数y＝f（x）满足f（4＋x）＝f（4－x），又f（x）在[4，＋∞）上是减函数，且f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥4B．0≤a≤8

C．a<0D．a<0或a≥8

3．已知f（x）＝x2＋bx＋c，且f（－1）＝f（3），则（　　）

A．f

（1）>c>f（－1）B．f

（1）

C．c>f（－1）>f

（1）D．c

（1）

4．已知二次函数f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，a]且f（x）的最小值为f（a），则a的取值范围是________．

5．根据下列条件，求二次函数y＝f（x）的解析式．

（1）图像过点（2,0），（4,0），（0,3）；

（2）图像顶点为（1,2）并且过点（0,4）；

（3）过点（1,1），（0,2），（3,5）．

1．配方法是重要的数学方法，在处理二次函数图像变换，研究二次函数性质时使用频繁．

2．二次函数图像变换规律可以推广到一般函数，即：

（1）y＝f（x）y＝f（x＋a）；

（2）y＝f（x）y＝f（x）＋b；

（3）y＝f（x）y＝af（x）（a>0）；

（4）y＝f（x）y＝－f（x）；

（5）y＝f（x）y＝f（－x）．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　y＝4（x2－x）－1＝4（x2－x＋－）－1＝4（x－）2－2.

令y＝0，即4x2－4x－1＝0，

4（x－）2－2＝0，

（x－）2＝，

x＝±＝.

知识点二

思考　y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y＝2x2的图像；再把y＝2x2的图像向左平移1个单位，再上移3个单位，得y＝2（x＋1）2＋3的图像．

知识点三

思考　点（1，－1）是y＝x2－2x的顶点，数0,2是方程x2－2x＝0的两根．

题型探究

例1　解　方法一　代入A（－3,0），

有9a－3b＋c＝0，①

由对称轴为x＝－1，得－＝－1，②

顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，③

联立①②③解得或

所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.

方法二　因为二次函数图像的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为（－1,2）或（－1，－2），

故可得二次函数的解析式为y＝a（x＋1）2＋2或y＝a（x＋1）2－2.

因为图像过点A（－3,0），

所以0＝a（－3＋1）2＋2或0＝a（－3＋1）2－2，解得a＝－或a＝.

故所求二次函数的解析式为y＝－（x＋1）2＋2＝－x2－x＋或y＝（x＋1）2－2＝x2＋x－.

方法三　因为二次函数图像的对称轴为x＝－1，

又图像过点A（－3,0），所以点A关于对称轴的对称点A′（1,0）也在图像上，

所以可得二次函数的解析式为y＝a（x＋3）（x－1）．

由题意得顶点坐标为（－1,2）或（－1，－2），

分别代入上式，解得a＝－或a＝.

故所求二次函数的解析式为y＝－（x＋3）（x－1）＝－x2－x＋或y＝（x＋3）（x－1）＝x2＋x－.

跟踪训练1　解　

（1）把A（1，m）代入y＝－3x，得m＝－3，

把（1，－3）代入y＝ax2＋6x－8，得

a＋6－8＝－3，即a＝－1.

（2）方法一　由f（－4）＝f（0），

知f（x）的对称轴为x＝＝－2，

又f（－2）＝－2，

∴顶点坐标为（－2，－2），

∴f（x）＝（x＋2）2－2＝x2＋4x＋2.

方法二　由f（－4）＝f（0），

可设f（x）＝x（x＋4）＋c.

代入x＝－2，得

－2×（－2＋4）＋c＝－2，∴c＝2.

∴f（x）＝x2＋4x＋2.

例2　解　f（x）＝－x2＋2x＋3

＝－（x2－2x）＋3

＝－（x2－2x＋1－1）＋3

＝－（x－1）2＋4，

∴由y＝x2的图像关于x轴对称，

可得y＝－x2的图像．

由y＝－x2的图像向右平移1个单位，

向上平移4个单位，

可得y＝－（x－1）2＋4，

即y＝－x2＋2x＋3的图像．

引申探究　

解　f（x）图像如图．

由图知越接近对称轴，函数值越大．

由|－1－1|

＝2>|2－1|＝1，

即f

（2）比f（－1）更接近对称轴，

∴f

（2）>f（－1）．

跟踪训练2　－6　6

解析　f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，

其图像顶点为（1,0）．

将二次函数f（x）＝x2－2x＋1的图像向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为（3，－3），得到的抛物线为y＝（x－3）2－3，

即f（x）＝x2＋bx＋c，

∴（x－3）2－3＝x2＋bx＋c，

即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c，

∴b＝－6，c＝6.

例3　解　

（1）对函数右端的表达式配方，得f（x）＝（x－3）2－，

所以函数图像的顶点坐标为（3，－），

对称轴方程为x＝3，最小值为－.

（2）由于3∈[1,4]，所以函数在区间[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数，

所以当x＝3时，ymin＝－，

当x＝1时，ymax＝×4－＝－，

所以函数的值域为[－，－]．

跟踪训练3　解　f（x）＝a（x＋1）2＋1－a.

当a＝0时，函数f（x）在区间[－1,2]上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去；

当a>0时，函数f（x）在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f

（2）＝8a＋1＝4，

解得a＝；

当a<0时，函数f（x）在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f（－1）＝1－a＝4，解得a＝－3.

综上，a的值为－3或.

当堂训练

1．D　2.B　3.B　4.（2,3]

5．解　

（1）y＝（x－2）（x－4）．

（2）y＝2（x－1）2＋2.

（3）y＝x2－2x＋2.