高中数学第一章导数及其应用112瞬时变化率导数二习题苏教版选修22Word文档格式.docx
《高中数学第一章导数及其应用112瞬时变化率导数二习题苏教版选修22Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章导数及其应用112瞬时变化率导数二习题苏教版选修22Word文档格式.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
∴
＝－Δx－1，
当Δx→0时，
→－1，
∴f′
（2）＝－1.
反思与感悟 求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数步骤如下：
①求函数值的改变量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
②求平均变化率
；
③求导数，当Δx→0时，
→A，则f′（x0）＝A.
跟踪训练1 求函数f（x）＝3x2－2x在x＝1处的导数．
解 Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×
12－2×
1）＝3（Δx）2＋4Δx，
＝3Δx＋4，
→4，
∴f′
（1）＝4.
探究点二 导数概念的应用
思考1 导函数f′（x）和f（x）在一点处的导数f′（x0）有何关系？
答 函数f（x）在一点处的导数f′（x0）是f（x）的导函数f′（x）在x＝x0处的函数值．
思考2 f′（x0）与f′（x）的区别是什么？
答 f′（x）是函数f（x）的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，Δx无关；
f′（x0）表示的是函数f（x）在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关．
思考3 导数有哪些主要应用？
答 在物理上，导数可以解决一些瞬时速度、瞬时加速度问题；
在函数图象上，利用导数可求曲线在某点处切线的斜率；
在实际问题中，导数可以表示事物变化的快慢，解决膨胀率，降雨强度，边际函数等问题．
例2 已知曲线y＝
在点（1,4）处的切线与直线l平行，且与l的距离等于
，求直线l的方程．
解 ∵Δy＝
－
＝－
，
.
当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于－4.
∴曲线在点（1,4）处的切线的斜率为－4.
故切线方程为y－4＝－4（x－1），即4x＋y－8＝0.
设直线l的方程为4x＋y＋c＝0，
由题意有
∴c1＝9，c2＝－25，
所以直线l的方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.
反思与感悟 利用导数的几何意义来求曲线切线的斜率，注意给出的点必须是切点才能直接根据导数求切线斜率，否则要先求切点．
跟踪训练2 已知函数y＝f（x）在点（
，3）处的切线方程为y＝kx－1，则f′（
）＝________.
答案 2
解析 由点（
，3）在直线y＝kx－1上得3＝k×
－1，
∴k＝2
根据导数的几何意义f′（
）＝2
思考4 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
答 不一定．
曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
思考5 曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与曲线过某点（x0，y0）的切线有何不同？
答 曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线，点（x0，f（x0））一定是切点，只要求出k＝f′（x0），利用点斜式写出切线方程即可；
而曲线f（x）过某点（x0，y0）的切线，给出的点（x0，y0）不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
例3 试求过点P（3,5）且与曲线y＝x2相切的直线方程．
解
＝2x＋Δx，
无限趋近于2x，
所以f′（x）＝2x.
设所求切线的切点为A（x0，y0），
因为A在曲线y＝x2上，所以y0＝x
又因为A是切点，所以过点A的切线的斜率k＝2x0.
因为所求切线过P（3,5）和A（x0，y0）两点，
所以斜率可以表示为
故
＝2x0，解得x0＝1或5.
从而切点的坐标为A（1,1）或A（5,25）．
当切点的坐标为A（1,1）时，
切线的斜率为k＝2x0＝2；
当切点的坐标为A（5,25）时，
切线的斜率为k＝2x0＝10.
所以所求的切线有两条，
方程分别为y－1＝2（x－1）和y－25＝10（x－5），
即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
反思与感悟
（1）求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；
（2）求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按
（1）完成解答．
跟踪训练3 已知曲线y＝2x2－7，求：
（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
（2）曲线过点P（3,9）的切线方程．
＝4x＋2Δx.
∴Δx→0时，
→4x.
（1）设切点为（x0，y0），
则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为（1，－5）．
（2）由于点P（3,9）不在曲线上．
设所求切线的切点为A（x0，y0），则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0（x－x0）．
将P（3,9）及y0＝2x
－7代入上式，
得9－（2x
－7）＝4x0（3－x0）．
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为（2,1）或（4,25）．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.
1．已知f（x）＝－x2＋10，则f（x）在x＝
处的瞬时变化率为________．
答案 －3
解析 ∵
＝－Δx－3，
无限趋近于－3.
2．函数y＝x＋
在x＝1处的导数为________．
答案 0
解析
无限趋近于0.
3．质点按S（t）＝3t－t2作直线运动，当其瞬时速度为0时，t＝______.
答案
解析 根据导数的定义可求得S′（t）＝3－2t.
令S′（t）＝3－2t＝0，得t＝
4．求函数f（x）＝x－
的导函数．
解 ∵Δy＝（x＋Δx）－
－（x－
）
＝Δx＋
＝1＋
∴当Δx→0时，1＋
→1＋
∴函数f（x）的导函数为1＋
[呈重点、现规律]
1．导数就是瞬时变化率，是平均变化率
当Δx→0时的无限趋近值．
2．函数f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）就是导函数f′（x）在x＝x0处的函数值．
3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
（1）求出函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）；
（2）根据直线的点斜式方程，得切线为y－y0＝f′（x0）（x－x0）.
一、基础过关
1．下列说法正确的是________（填序号）．
①若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处就没有切线；
②若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f′（x0）必存在；
③若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在；
④若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f′（x0）有可能存在．
答案 ③
解析 k＝f′（x0），所以f′（x0）不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
2.
已知y＝f（x）的图象如图所示，则f′（xA）与f′（xB）的大小关系是________．
答案 f′（xA）<
f′（xB）
解析 由导数的几何意义，f′（xA），f′（xB）分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′（xA）<
f′（xB）．
3．已知f（x）＝
，则当Δx→0时，
无限趋近于________．
答案 －
解析 ∵f（2＋Δx）－f
（2）＝
→－
4．曲线y＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则此切线方程为____________．
答案 4x－y－4＝0或4x－y＝0
解析 设P（x0，y0），由导数定义可得y＝x3＋x－2在点x＝x0处的导数为3x
＋1，令3x
＋1＝4，∴x0＝±
1，∴切点P的坐标为（1,0）或（－1，－4），故切线方程为4x－y－4＝0或4x－y＝0.
5．设函数f（x）＝ax3＋2，若f′（－1）＝3，则a＝________.（已知（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3）
答案 1
＝[a（Δx）2－3aΔx＋3a]．
∴当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于3a，
即3a＝3，∴a＝1.
6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且ts时速度为v（t）＝8t2＋1，若在t＝t0时的加速度为6m/s2，则t0＝________s.
7．用导数的定义，求函数y＝f（x）＝
在x＝1处的导数．
解 ∵Δy＝f（1＋Δx）－f（x）＝
无限趋近于－
∴f′
（1）＝－
二、能力提升
8．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f
（1））处的切线方程是y＝
x＋2，则f
（1）＋f′
（1）＝________.
答案 3
解析 由在M点的切线方程y＝
x＋2
得f
（1）＝
×
1＋2＝
，f′
（1）＝
∴f
（1）＋f′
（1）＝
＋
＝3.
9．若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是________．（填序号）
答案 ①
解析 依题意，y＝f′（x）在[a，b]上是增函数，则在函数f（x）的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个图象，只有①满足．
10．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.
解析 设切点坐标为（x0,1），则f′（x0）＝4x0－4＝0，
∴x0＝1，即切点坐标为（1,1）．
∴2－4＋P＝1，即P＝3.
11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
（1）它们的交点；
（2）抛物线在交点处的切线方程．
解
（1）由
解得
或
∴抛物线与直线的交点坐标为（－2,8）或（3,13）．
（2）∵y＝x2＋4，
＝Δx＋2x，
→2x.
升级会员 