高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数量积运算学案新人教A版选修212Word文档下载推荐.docx
《高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数量积运算学案新人教A版选修212Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数量积运算学案新人教A版选修212Word文档下载推荐.docx(46页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·
b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·
b=λ(a·
b)
交换律
a·
b=b·
a
分配律
(b+c)=a·
b+a·
c
(3)空间向量的夹角
①定义:
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作
=a,
=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作〈a,b〉.
②范围:
〈a,b〉∈[0,π].特别地:
当〈a,b〉=
时,a⊥b.
知识点二 空间向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质
①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·
b=0
②若a与b同向,则a·
b=|a|·
|b|;
若反向,则a·
b=-|a|·
|b|.
特别地,a·
a=|a|2或|a|=
③若θ为a,b的夹角,则cosθ=
④|a·
b|≤|a|·
|b|
类型一 空间向量的数量积运算
命题角度1 空间向量的数量积基本运算
例1
(1)下列命题是否正确?
正确的请给出证明,不正确的给予说明.
①p2·
q2=(p·
q)2;
②|p+q|·
|p-q|=|p2-q2|;
③若a与(a·
b)·
c-(a·
c)·
b均不为0,则它们垂直.
解 ①此命题不正确.
∵p2·
q2=|p|2·
|q|2,
而(p·
q)2=(|p|·
|q|·
cos〈p,q〉)2=|p|2·
|q|2·
cos2〈p,q〉,
∴当且仅当p∥q时,p2·
q)2.
②此命题不正确.
∵|p2-q2|=|(p+q)·
(p-q)|=|p+q|·
|p-q|·
|cos〈p+q,p-q〉|,
∴当且仅当(p+q)∥(p-q)时,|p2-q2|=|p+q|·
|p-q|.
③此命题正确.
∵a·
[(a·
b]=a·
(a·
c-a·
b=(a·
b)(a·
c)-(a·
c)=0,
且a与(a·
b均为非零向量,
∴a与(a·
b垂直.
(2)设θ=〈a,b〉=120°
,|a|=3,|b|=4,求:
①a·
b;
②(3a-2b)·
(a+2b).
解 ①∵a·
b=|a||b|cos〈a,b〉,
∴a·
b=3×
=-6.
②∵(3a-2b)·
(a+2b)=3|a|2+4a·
b-4|b|2=3|a|2+4|a||b|cos120°
-4|b|2,
∴(3a-2b)·
(a+2b)=3×
9+4×
3×
(-
)-4×
16=27-24-64=-61.
反思与感悟
(1)已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算.
(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·
a=|a|2及数量积公式进行计算.
跟踪训练1 已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°
,那么|a+3b|等于( )
A.
B.
C.
D.4
答案 C
解析 ∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·
b+9b2=1+6×
cos60°
+9=13,∴|a+3b|=
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:
(1)
;
(2)
(3)
解 如图,设
=b,
=c,
则|a|=|c|=2,|b|=4,a·
c=c·
a=0.
=b·
[
(c-a)+b]=|b|2=42=16.
(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.
(-a+b+c)·
=-
|a|2+
|b|2=2.
反思与感悟 两向量的数量积,其运算结果是数量,而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1,求:
(1)(
+
)·
(
);
(2)|
|.
解
(1)(
)=(
-2
)=12+1×
1×
-2×
+1×
+12-2×
=1.
|=
类型二 利用数量积求夹角或模
命题角度1 利用数量积求夹角
例3 已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°
的等腰直角三角形,▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.
解 如图所示.∵
=(
)=
∵AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,
=0,
=0且
=-a2.
又
|·
|
〉,
∴cos〈
〉=
又∵〈
〉∈[0°
,180°
],∴〈
〉=120°
又∵异面直线所成的角是锐角或直角,
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°
反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法
跟踪训练3 已知:
PO、PA分别是平面α的垂线、斜线,AO是PA在平面α内的射影,l⊂α,且l⊥OA.
求证:
l⊥PA.
证明 如图,取直线l的方向向量a,同时取向量
因为l⊥OA,所以a·
=0.
因为PO⊥α,且l⊂α,所以l⊥PO,
因此a·
又因为a·
=a·
)=a·
+a·
所以l⊥PA.
命题角度2 利用数量积求模(或距离)
例4 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°
,∠BAA1=∠DAA1=60°
,求AC1的长.
解 因为
所以
2=(
)2=
2+
2+2(
).
因为∠BAD=90°
所以〈
〉=90°
,〈
〉=〈
〉=60°
2=1+4+9+2(1×
+2×
)=23.
因为
2=|
|2,所以|
|2=23,|
即AC1=
反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|=
求解即可.
跟踪训练4 如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°
,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,求A,D两点间的距离.
解 ∵
∴|
|2=(
)2=|
|2+|
|2+2
+2
=12+2(2·
2·
cos90°
+2·
)=8,
|=2
,即A,D两点间的距离为2
类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
例5 如图,在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:
OA⊥BC.
证明 因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,
所以△OAC≌△OAB,
所以∠AOC=∠AOB.
|cos∠AOC-|
|cos∠AOB=0,
⊥
,即OA⊥BC.
反思与感悟
(1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
(2)证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直的方法
先用向量a,b,c表示向量m,n,再判断向量m,n的数量积是否为0.
跟踪训练5 已知向量a,b满足:
|a|=2,|b|=
,且a与2b-a互相垂直,则a与b的夹角为________.
答案 45°
解析 ∵a与2b-a垂直,∴a·
(2b-a)=0,
即2a·
b-|a|2=0.
∴2|a||b|·
cos〈a,b〉-|a|2=0,
∴4
cos〈a,b〉-4=0,∴cos〈a,b〉=
又〈a,b〉∈[0°
],∴a与b的夹角为45°
1.已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a-2b+3c|等于( )
A.14B.
C.4D.2
答案 B
解析 |a-2b+3c|2=|a|2+4|b|2+9|c|2-4a·
b+6a·
c-12b·
c=14.
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的数量积一定不为0的是( )
D.
答案 D
解析 选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,
所以AD1⊥B1C,此时有
=0;
选项B,当四边形ABCD为正方形时,易得AC⊥BD,可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时
选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1,
所以AB⊥AD1,所以
=0.故选D.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:
①(
)2=3
2;
②
)=0;
③
的夹角为60°
其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.0
解析 易知①②正确;
的夹角为120°
,∴③不正确.故选B.
4.已知a,b为两个非零空间向量,若|a|=2
,|b|=
,a·
b=-
,则〈a,b〉=____.
答案
解析 cos〈a,b〉=
,∴〈a,b〉=
5.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为______.
解析 |
|2=
)2
)
=12+22+12+2×
(1×
2×
+0+2