立体几何与空间向量Word文档下载推荐.docx

立体几何与空间向量Word文档下载推荐.docx

《立体几何与空间向量Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何与空间向量Word文档下载推荐.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

）

.

因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，

＝0，

＝－a2.

又

〉，

〉＝

＝－

所以〈

〉＝120°

所以异面直线BA1与AC所成的角为60°

方法二　

连接A1C1，BC1，则由条件可知A1C1∥AC，

从而BA1与AC所成的角亦为BA1与A1C1所成的角，

由于该几何体为边长为a的正方体，

于是△A1BC1为正三角形，∠BA1C1＝60°

从而所求异面直线BA1与AC所成的角为60°

方法三　由于该几何体为正方体，

所以DA，DC，DD1两两垂直且长度均为a，

于是以D为坐标原点，

分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

于是有A（a,0,0），C（0，a,0），A1（a,0，a），B（a，a,0），

从而

＝（－a，a,0），

＝（0，－a，a），

且|

|＝|

|＝

a，

＝－a2，

∴cos〈

〈

所以所求异面直线BA1与AC所成角为60°

题型二　直线与平面所成的角

例2　如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．

（1）证明：

PE⊥BC；

（2）若∠APB＝∠ADB＝60°

，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

破题切入点　平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量．

（1）证明　

以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系（如图），

则A（1,0,0），B（0,1,0）．

设C（m,0,0），P（0,0，n）（m<

0，n>

0），则D（0，m,0），E

可得

＝（m，－1,0）．

－

＋0＝0，所以PE⊥BC.

（2）解　由已知条件可得m＝－

，n＝1，

故C

，D

，E

P（0,0,1）．

设n＝（x，y，z）为平面PEH的法向量，

则

即

因此可以取n＝（1，

，0）．又

＝（1,0，－1），

所以|cos〈

，n〉|＝

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为

题型三　二面角

例3　如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝

AD.

（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；

（2）证明：

平面AMD⊥平面CDE；

（3）求二面角A－CD－E的余弦值．

破题切入点　以点A为坐标原点建立空间直角坐标系．

（1）解　

如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，依题意得B（1,0,0），C（1,1,0），

D（0,2,0），E（0,1,1），

F（0,0,1），

M

＝（－1,0,1），

＝（0，－1,1），

于是cos〈

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°

（2）证明　由

＝（0,2,0），可得

＝0.

因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A，

故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE，

所以平面AMD⊥平面CDE.

（3）解　设平面CDE的法向量为u＝（x，y，z），则

于是

令x＝1可得u＝（1,1,1）．

又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝（0,0,1）．

所以cosu，v＝

因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为

总结提高　空间中各种角包括：

异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．

（1）异面直线所成的角的范围是（0，

]．求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．

具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；

②证明作出的角即为所求的角；

③利用三角形来求角．

（2）直线与平面所成的角的范围是[0，

]．求直线和平面所成的角用的是射影转化法．

①找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连接垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；

③把该角置于三角形中计算．

注：

斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θ≤α.

（3）确定点的射影位置有以下几种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；

如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；

③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；

④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：

a．如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；

b．如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心（或旁心）；

c．如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；

（4）二面角的范围是（0，π]，解题时要注意图形的位置和题目的要求．作二面角的平面角常有三种方法．

①棱上一点双垂线法：

在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；

②面上一点三垂线法：

自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；

③空间一点垂面法：

自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．

1．（2014·

课标全国Ⅱ）直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°

，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　方法一　补成正方体，利用向量的方法求异面直线所成的角．

由于∠BCA＝90°

，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，

可将三棱柱补成正方体．

建立如图

（1）所示空间直角坐标系．

设正方体棱长为2，则可得A（0,0,0），B（2,2,0），M（1,1,2），N（0,1,2），

∴

＝（1,1,2）－（2,2,0）＝（－1，－1,2），

＝（0,1,2）．

方法二　通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解．

如图

（2），取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綊

B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝ND＝

，AN＝

，AD＝

，因此cos∠AND＝

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是（　　）

C.

解析　建立空间直角坐标系如图所示．

设正方体的棱长为1，

直线BC1与平面A1BD所成的角为θ，

则D（0,0,0），A1（1,0,1），B（1,1,0），C1（0,1,1），

＝（1,0,1），

＝（1,1,0），

＝（－1,0,1）．

设n＝（x，y，z）是平面A1BD的一个法向量，

令z＝1，则x＝－1，y＝1.

∴n＝（－1,1,1），

∴sinθ＝|cos〈n，

〉|＝|

3．如图，过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

答案　B

解析　将四棱椎P－ABCD还原成正方体，

可知∠APD为平面ABD与平面PCD的平面角，

即∠APD＝45°

4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°

，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（　　）

解析　

以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1（1,0,2），B（0,1,0），A（1，0,0），C（0,0,0），

＝（－1,1，－2），

＝（－1,0,0），

5．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝a.点E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（　　）

C．60°

答案　D

建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点．则P（0,0，a），B（a，a,0），

E（0，

）．

故

＝（a，a，－a），

＝0＋

所以PB⊥DE，由已知DF⊥PB，且DF∩DE＝D，

所以PB⊥平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90°

6．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下面结论错误的为（　　）

A．AC⊥BD

B．△ACD是等边三角形

C．AB与平面BCD所成的角为60°

D．AB与CD所成的角为60°

解析　取BD中点O，连接AO、CO，

则AO⊥BD，CO⊥BD，

∴BD⊥平面AOC，

∴AC⊥BD，又AC＝

AO＝AD＝CD，

∴△ACD是等边三角形，

而∠ABD是AB与平面BCD所成的角，应为45°

（设AB＝a），

则a2＝a2＋2a2＋a2＋2·

a·

（－

＋2a·

）＋2a2cos〈

，∴AB与CD所成的角为60°

7．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°

，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是______．

答案　60°

解析　以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．

设AB＝BC＝AA1＝2，

则C1（2,0,2），E（0,1,0），F（0,0,1），

＝（2,0,2），

＝2，

∴EF和BC1所成的角为60°

8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A