高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数量积运算学案新人教A版选修212Word文档下载推荐.docx

1、已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.（2）数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律（a）b（ab）交换律abba分配律（bc）abac（3）空间向量的夹角定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b.范围：a，b0，.特别地：当a，b时，ab.知识点二空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则cos |ab|a|b|类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的

2、数量积基本运算例1（1）下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.p2q2（pq）2；|pq|pq|p2q2|；若a与（ab）c（ac）b均不为0，则它们垂直.解此命题不正确.p2q2|p|2|q|2，而（pq）2（|p|q|cosp，q）2|p|2|q|2cos2p，q，当且仅当pq时，p2q）2.此命题不正确.|p2q2|（pq）（pq）|pq|pq|cospq，pq|，当且仅当（pq）（pq）时，|p2q2|pq|pq|.此命题正确.a（aba（acab（ab）（ac）（ac）0，且a与（ab均为非零向量，a与（ab垂直.（2）设a，b120，|a|3，|b|4，求：ab；（

3、3a2b）（a2b）.解ab|a|b|cosa，b，ab36.（3a2b）（a2b）3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2，（3a2b）（a2b）3943（）41627246461.反思与感悟（1）已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.（2）如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算.跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于（）A. B. C. D.4答案C解析|a3b|2（a3b）2a26ab9b216cos 60913，|a3b|命

4、题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：（1）；（2）（3）解如图，设b，c，则|a|c|2，|b|4，acca0.b（ca）b|b|24216.（ac）|c|2|a|222220.（abc）|a|2|b|22.反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：（1）（）（）；（2）|.解（1）（）（2）1211211221.|类型二利用数量积求夹角或模命题角度1

5、利用数量积求夹角例3已知BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角.解如图所示.（）ABBC，BB1AB，BB1BC，0，0且a2.又|，cos又0，180，120又异面直线所成的角是锐角或直角，异面直线BA1与AC所成的角为60反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法 跟踪训练3已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影， l，且lOA.求证：lPA.证明如图，取直线l的方向向量a，同时取向量因为lOA，所以a0.因为PO，且l，所以lPO，因此a又因为aa）aa所以

6、lPA.命题角度2利用数量积求模（或距离）例4如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长.解因为所以2（）2222（）.因为BAD90所以90，6021492（12）23.因为2|2，所以|223，|即AC1反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可.跟踪训练4如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若A

7、BBCCD2，求A，D两点间的距离.解|2（）2|2|222122（22cos 902）8，|2，即A，D两点间的距离为2类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题例5如图，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC.证明因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB，所以AOCAOB.|cosAOC|cosAOB0，即OABC.反思与感悟（1）证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.（2）证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训

8、练5已知向量a，b满足：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_.答案45解析a与2ba垂直，a（2ba）0，即2ab|a|20.2|a|b|cosa，b|a|20，4cosa，b40，cosa，b又a，b0，a与b的夹角为451.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于（）A.14 B. C.4 D.2答案B解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14.2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是（） D.答案D解析选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1A1D，而A1DB1C，所以AD1B1C，此时有0；选项B，当四边形ABCD为正方形时，易得ACBD，可得AC平面BB1D1D，故有ACBD1，此时选项C，由长方体的性质可得AB平面ADD1A1，所以ABAD1，所以0.故选D.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：（）232；）0；的夹角为60其中真命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.0解析易知正确；的夹角为120，不正确.故选B.4.已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2，|b|，ab，则a，b_.答案解析cosa，b，a，b5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.解析|2）2）1222122（1202