毕业设计论文等价无穷小量的性质及推广应用Word格式.docx
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4.4等价无穷小量在判断级数收敛中的应用11
5等价无穷小量的优势12
5.1运用等价无穷小量求函数极限的优势12
5.2等价无穷小量在求函数极限过程中的优势14
6结论15
6.1主要发现15
6.2启示15
6.3局限性16
6.4努力方向16
参考文献17
1引言
等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.
2文献综述
2.1国内外研究现状
现查阅到的国内外参考文献[1—15]中，作者们都不同程度地探讨了等价无穷小的概念及其重要性质和应用。
文献[1]同济大学应用数学系主编.高等数学.杨文泰的文献[2]都从不同程度上讲解了等价无穷小的概念。
彭康青,马振民的文献[5]，尤晓琳,吴振芬的文献[4]屈红萍,赵文燕的文献[8]都对等价无穷小求极限进行了讲解研究并得出一些方法；
文献[3]王斌对用罗比塔法则求未定式极限的局限性进行了探讨。
冯录祥，段丽凌,杨贺菊，王强，龚萍，张云霞，陈大桥，张高明，李权，蹇小平，殷君芳等分别在文献[6，7,9-15]中对等价无穷小进行了一定的讲解与探究，提出了一些合理的应用方法和推广实例，但存在一定的极限.
2.2国内外研究现状评价
在查阅到的国内外参考文献[1-15]中，对等价无穷小作了一定的研究，给出了一些建议与方法，但系统性不强，比较零散，但在数学中，等价无穷小的应用是很重要的。
2.3提出问题
本文在查阅到的相关参考文献的基础上，对等价无穷小的应用，提出了开门见山直接导入，并通过相关例题说明其概念，性质及其应用。
3等价无穷小量的概念及其重要性质
无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时（或x→∞）时，limf（x）=0，则称函数f（x）当x→x0时（或x→∞）时为无穷小。
当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。
常见性质有：
设α,α′,β,β′,γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小，①若α～α′,β～β′，且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′②若α～β，β～γ，则α～γ
性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。
性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：
③若α～α′,β～β′，且limβα=c（≠-1），则α+β～α′+β′
证明：
∵limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·
βα·
β′β
=lim1+c1+c=1
∴α+β～α′+β′
而学生则往往在性质（3）的应用上忽略了“limβα=c（≠-1）”这个条件，千篇一律认为“α～α′,β～β′，则有α+β～α′+β′
④若α～α′,β～β′，且limAα′±
Bβ′Cα′±
Dβ′存在，则当Aα′±
Dβ′≠0且limAα±
BβCα±
Dβ存在，有limAα±
Dβ=limAα′±
Dβ′
此性质的证明见文献［2］，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。
但要注意条件“limβα=c（≠-1）”，“Aα′±
Dβ′≠0”的使用。
3.1等价无穷小量的概念
定义若函数（包括数列）在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过程中的无穷小量.如函数
sinx,1-cosx,ln（1+x）均为当x→0时的无穷小量.对于数列只有一种情形,即n→∞,如数列{
}为n→∞时的无穷小量或称为无穷小数列.
注意：
1）绝对值非常小的数不是无穷小量,0是唯一的是无穷小量的数;
无穷小量无限趋近于0而又不等于0.
2）无穷小量是变量,与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限.如函数
当x
∞时的无穷小量,但当x
1时不是无穷小量.
3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.
4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.
3.1.1无穷小量的比较
1）若存在正数K和L,使得在某
上有
则称
与
为当
时的同阶无穷小量.特别当
则称
是同阶无穷小.
2）若
=1,则称
是等价无穷小量,记为
～
.
3）若
=0,则称
是
高阶无穷小,记作
=
注:
并不是任意两个无穷小均可比较,如当x→0时,
都是无穷小量,但它们不能进行阶的比较.
3.2等价无穷小量的重要性质
设α,α′,β,β′,γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小,
1若α～α′,β～β′,且lim
存在,则
lim
=lim
（
）
2若α～β,β～γ,则α～γ.
性质①表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质②表明等价无穷小量的传递性.
3.3等价无穷小量性质的推广
α～α′,β～β′,且lim
=c（≠-1）,则α+β～α′+β′.
证明因为
所以
α+β～α′+β′.
而学生则往往在性质（3）的应用上忽略了“lim
=c（≠-1）”这个条件,千篇一律认为“α～α′,β～β′,则有α+β～α′+β′
在同一变化过程中,
～
且
证明因为
=
故结论得证.
若α～α′,β～β′,且lim
′存在,则当
≠0且lim
存在,有
′.
又α～α′,β～β′,于是,
从而
=1,
即
同理可证
故命题得证.
（4）设在自变量的某一变化过程中,
、
及
都是无穷小量.
若
、且
存在且
则有
且
证明
因为
又因为
故上式等于1.
要证
成立,只需证
因为
所以结论得证.
性质
（1）、（3）的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化了计算.但要注意条件“lim
=c（≠-1）”,“
≠0”的使用.
注意1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的.
2）以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.
4等价无穷小量的应用
等价无穷小量的应用在冯录祥老师的«
关于等价无穷小量代换的一个注记»
、王斌老师的«
用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨»
、华东师范大学数学系的«
数学分析»
、盛祥耀老师的«
高等数学»
、马振明老师和吕克噗老师的«
微分习题类型分析»
、ShivakumarN,G.MolinaH.SCAM:
ACopyDetectionMechanismforDigitalDocuments[A].The2ndInternationalConferenceinTheoryandPracticeofDigitalLibraries[C].USAAustinTexas:
[s.n]以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的«
数学分析讲义»
中都有详细的分析与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例题写出来的.请看下面的内容：
4.1求函数的极限
在求极限中经常用到的等价无穷小量有
-1,
（
→0）.
例1
求
解当
→0时,
原式=
..
例2
解原式=
=
（∵
此题也可用洛必达法则做,但不能用性质
做.
所以,
=0,不满足性质
的条件,否则得出错误结论0.
4.2等价无穷小量在近似计算中的应用
如：
例3
解因为
时,
故
4.3利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限
例4求极限
解由于函数的分母中
0）,因此只需将函数分子中的
与分母中的cosx和
分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示,即：
例5由拉格朗日中值定理,对任意的
＞-1,存在
使得
.证明
解因
所以,根据题设所给条件有
所以,
以上例子能使我们更加深刻的理解无穷小与无穷小或函数与无穷小的相关运算,能更好的理解泰勒公式在求函数极限中的巧妙运用.
4.4等价无穷小量在判断级数收敛中的应用
在正项级数的审敛判别法中,用得比较多的是比较审敛法的极限形式,它也是无穷小的一个应用.比较审敛法的极限形式：
设
和
都是正项级数,
①如果
=l（0≤l<
+∞）,且级数
收敛,则级数
收敛.
②如果
=l>
0或l
=+∞,且级数
发散,则级数
发散.
当①=1时,∑
∑
就是等价无穷小量.由比较审敛法的极限形式知,∑
与∑
同敛散性,只要已知
中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性.
例6
解
所以,
例7研究
的敛散性
解∵
=
=1
而∑
发散,
∴
从以上的例题可以看出,在级数敛散性的判别中,等价无穷小量发挥了重要的作用.在很多题目中,我们需要综合运用罗比达法则、等价无穷小量的性质、泰勒级数等相关知识,才能达到简化运算的目的.
5等价无穷小量的优势
这一部分的
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