数学建模大赛C题文档格式.docx
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C题:
古塔的变形
摘要
古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用,偶然还要受地震、飓风的影响,古塔会产生各种变形,诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔,文物部门需适时对古塔进行观测,了解各种变形量,以制定必要的保护措施。
对于第一个问题,求中心点坐标,采用的是均值法,由于前两次测量中第13层第5个点没有数据,要是采用均值法求中心坐标,会产生较大的误差,所以在求第13层中心坐标,采用的是拟合法。
对于第二个问题,分析古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
这个问题可以分三个小问题考虑。
1、分析古塔的倾斜情况,先用Matlab软件绘制出,古塔的俯视图,观察古塔的倾斜情况,大致的倾斜方向,再用三角函数求出古塔的倾斜角度,再把四次算的倾斜角,做一下比较,观察古塔的倾斜状况。
2、分析古塔的弯曲情况,首先观察X-Z坐标系中心点坐标,用Matlab软件把X-Z坐标系中的中心坐标拟合成一条曲线,求出这条曲线的曲率,然后按照上述方法求出Y-Z坐标系中心点坐标的曲线方程,求出这条线的曲率,分别观察古塔在X轴方向的弯曲情况,和丫轴方向的弯曲情况。
3、分析古塔的扭曲情况,由于时间关系,没有分析古塔的扭曲。
对于第三个问题,分析古塔的变形趋势,可以根据第二问中的倾斜角,弯曲情况,进行简单的分析。
关键词:
Matlab拟合,Matlab绘图,均值法,Matlabcurvefitting软件,Matlab编程
一、问题重述
某古塔已有上千年历史,是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公
司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进
行了4次观测。
请你们根据附件1提供的4次观测数据,讨论以下问题:
1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法,并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3.分析该塔的变形趋势。
二、问题分析
本文我们是根据相关人员对古塔的观测的数据来分析该古塔的倾斜与弯曲的程度,并且分析出未来古塔的趋势走向。
首先,我们利用均值法求出各层的中心点并且拟合出图形,然后我们对该塔构建了三角形,利用三角函数求出该塔的倾斜角度,并且利用曲率算出弯曲的程度。
最后,我们利用所求出的数据以及图表进行分析得到该塔未来的发展趋势。
三、模型假设
1、
假设古塔每层都是正八边形。
2、
假设题目中提供的数据真实可靠。
3、
假设地面平整。
4、
假设每层的测量点在一个平面内。
四、符号说明
S塔身长度Xi(1i108)古塔测量的数据X坐标
X中心点的X坐标Yi(1i108)古塔测量的数据y坐标
Y中心点的y坐标Xi(1i108)古塔测量的数据z坐标Z中心点的z坐标N古塔每层的测量点的个数
塔的倾斜角
五、模型的建立与求解
5.1问题1模型的建立与求解
正八边形的重心等于中心,所以可以用均值法求每个面的中心点,公式如下:
根据每个面内点的坐标(1「7),可求得平面的中心坐标:
由于每个面都有八个测量点,所以在这里N=8。
在求第13层中心点时,由于缺失数据,用均值法得出的中心坐标有很大的偏差,所以在求13层中心点改用拟合法。
下面以求1996年古塔的中心点
为例。
因为古塔的每层测量点都在一个平面内,所以13层的Z轴坐标为7个测量
点Z轴坐标的平均值。
Matlabcurvefitting软件对古塔X-Z坐标系12层中心点和一个塔顶坐标进行拟合,结果如下图:
Figure错误味指定顺序。
LinearmodelPoly1:
Coefficients(with95%confidencebounds):
p仁93.06(90.11,96.01)
p2=-5.273e+04(-5.44e+04,-5.106e+04)
拟合的公式为:
Z=93.06*X-52730
将Z;
52.83代入拟合公式求得X;
567.1951
同上用Matlabcurvefitting软件对古塔Y-Z坐标系12层中心点和一个塔顶坐标进行拟合,结果如下图:
f(x)=p1*x+p2
p仁-114.5(-133,-96.11)
p2=5.987e+04(5.025e+04,6.95e+04)
拟合公式:
Z=-114.5*Y+59870
将乙352.83代入拟合公式求得第3522.2280
依据此方法,求出1986年的13层中心坐标。
古塔各层的中心坐标,如下表:
塔的各层中心点坐标
年份
层次
X坐标
Y坐标
Z坐标
年份
1986
1
566.6648
522.710
5
1.78737
199
6
566.665
522.7102
1.783
2
566.7196
522.668
4
7.32025
566.7205
522.6674
7.314625
3
566.7735
522.627
12.7552
566.7751
522.6256
12.75075
566.8161
522.594
17.0782
566.8183
522.5922
17.07513
566.8621
522.559
21.7205
566.8649
522.5563
21.716
566.9084
522.524
26.2351
566.9118
522.521
26.2295
7
566.9468
522.508
29.8368
8
566.9506
522.5042
29.83225
566.9843
522.492
33.3508
566.9884
522.4881
33.34538
9
567.0218
522.476
36.8548
567.0265
522.4714
36.84825
10
567.0569
522.462
40.1721
567.062
522.4572
40.16763
11
567.1045
522.423
44.4408
567.1102
522.4173
44.43538
12
567.1518
522.383
48.7118
567.1578
522.3775
48.70738
13
567.204
522.286
52.8342
567.1951
522.228
52.83
塔尖
567.2473
522.243
55.1232
塔
尖
567.2544
522.2367
55.11975
表格错误!
未指定顺序。
522.701
566.7268
1.7645
566.727
522.7014
1.76325
566.764
522.669
7.309
566.7642
7.2905
522.638
12.7322
566.8001
566.8004
522.6387
12.72688
522.613
17.0697
566.8293
566.8297
522.6127
17.052
522.586
21.7093
566.8604
566.861
21.70388
522.534
566.9471
26.211
566.9478
522.5335
26.2045
522.512
29.8246
2009
566.9792
201
566.98
522.5115
29.817
522.479
33.3398
567.0305
567.0313
522.4788
33.33663
522.446
36.8437
567.0816
567.0825
522.4457
36.82225