量子力学期末考试题目Word格式文档下载.docx

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由上式明显看出，当hν-W0≤0时，即ν≤ν0=W0/h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。

②光电子动能只决定于光子的频率：

上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。

⒔康普顿效应：

高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。

⒕康普顿效应的实验规律：

①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'

的X光，且λ'

>

λ；

②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。

⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象

⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性

⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。

⒚光谱线：

光经过一系列光学透镜及棱镜后，会在底片上留下若干条线，每个线条就是一条光谱线。

所有光谱线的总和称为光谱。

⒛线状光谱：

原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。

21.标识线状光谱：

对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的，也就是说，可以表征原子特征的线状光谱。

22.戴维逊-革末实验证明了什么？

第二章

⒈量子力学中，原子的轨道半径的含义。

⒉波函数的物理意义：

某时刻t在空间某一点（x,y,z）波函数模的平方与该时刻t该地点（x,y,z）附近单位体积内发现粒子的几率密度（通常称为几率）dw（x,y,z,t）成正比。

按照这种解释，描写粒子的波是几率波。

⒊波函数的特性：

波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的几率，即不改变波函数所描写的状态。

⒋波函数的归一化条件

⒌态叠加原理：

若体系具有一系列不同的可能状态Ψ1，Ψ2，…Ψn，则这些可能状态的任意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。

也可以说，当体系处于态Ψ时，体系部分地处于态Ψ1，Ψ2，…Ψn中。

⒍波函数的标准条件：

单值性，有限性和连续性，波函数归一化。

⒎定态：

微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。

定态波函数：

描述定态的波函数称为定态波函数。

。

⒐定态的性质：

⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。

⑵粒子几率流密度不随时间改变。

⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。

⒑本征方程、本征值和本征波函数：

在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于一个常数乘以该波函数，则称此方程为该算符的本征方程。

常数fn为该算符的第n个本征值。

波函数ψn为fn相应的本征波函数。

⒒束缚态：

在无穷远处为零的波函数所描述的状态。

基态：

体系能量最低的态。

⒓宇称：

在一维问题中，凡波函数ψ（x）为x的偶函数的态称为偶（正）宇称态；

凡波函数ψ（x）为x的奇函数的态称为奇（负）宇称态。

⒔在一维空间内运动的粒子的势能为（μω2x2）/2，ω是常数，这种粒子构成的体系称为线性谐振子。

线性谐振子的能级为：

⒕透射系数：

透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。

反射系数：

反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。

⒖隧道效应：

粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。

⒗求证：

在薛定谔方程中

只有当势能V（r）为实函数时，连续性方程

才能成立。

⒘设一个质量为μ的粒子束缚在势场中作一维运动，其能量本征值和本征波函数分别为En,ψn，n=1，2，3，4、…。

求证：

⒙对一维运动的粒子，设Ψ1（x）和Ψ2（x）均为定态薛定谔方程的具有相同能量E的解，求证：

⒚一粒子在一维势场

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

⒛体系处于ψ（x,t）态，几率密度ρ（x,t）=？

几率流密度j（x,t）=？

21．设粒子波函数为ψ（r,t）,写出粒子几率守恒的微分表达式。

22．量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？

答:

量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有可测的意义；

经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。

23．什么是量子力学中的定态？

它有什么特征？

24．设

为归一化的动量表象下的波函数，写出

的物理意义。

25．设质量为μ粒子处于如下势垒中

若U0>

0，E>

0，求在x=x0处的反射系数和透射系数。

26．设质量为μ粒子沿x轴正方向射向如下势垒

若V0>

27．一个粒子的波函数为

求：

①归一化常数A；

②画出

与

关系图，并求粒子出现最大几率的点。

③在

区间找到粒子的几率。

在

和

时的几率。

④

的平均值。

28．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为__________。

29．自由粒子体系，__________守恒；

中心力场中运动的粒子___________守恒。

30．力学量算符应满足的两个性质是。

厄密算符的本征函数具有。

第三章

⒈算符:

作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。

⒉厄密算符的定义：

如果算符

满足下列等式

，则称

为厄密算符。

式中ψ和φ为任意波函数，x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。

推论：

量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。

⒊厄密算符的性质：

厄密算符的本征值必是实数。

厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

⒋简并：

对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。

简并度：

对应于同一个本征值的本征函数的数目。

⒌氢原子的电离态：

氢原子中的电子脱离原子的束缚，成为自由电子的状态。

电离能：

电离态与基态能量之差

⒍氢原子中在半径r到r+dr的球壳内找到电子的概率是：

在方向（θ，φ）附近立体角dΩ内的概率是：

⒎两函数ψ1和ψ2正交的条件是：

式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称函数ψ1和ψ2相互正交。

⒏正交归一系：

满足正交条件的归一化本征函数φk或φl。

⒐厄密算符本征波函数的完全性：

如果φn（r）是厄密算符

的正交归一本征波函数，λn是本征值，则任一波函数ψ（r）可以按φn（r）展开为级数的性质。

或者说φn（r）组成完全系。

⒑算符与力学量的关系：

当体系处于算符

的本征态φ时，力学量F有确定值，这个值就是算符

在φ态中的本征值。

力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。

每个可能值都以确定的几率出现。

⒒算符对易关系：

。

可对易算符：

如果

，则称算符

是可对易的；

不对易算符：

是不对易的。

⒓两力学量同时有确定值的条件：

定理1：

如果两个算符

有一组共同本征函数φn，而且φn组成完全系，则算符对易。

定理2：

对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。

⒔测不准关系：

当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值，

⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是：

量子力学中的能量守恒定律形式是：

⒖空间反演：

把一个波函数的所有坐标自变量改变符号（如r→－r）的运算。

宇称算符：

表示空间反演运算的算符。

宇称守恒：

体系状态的宇称不随时间改变。

⒗一维谐振子处在基态

，求：

（1）势能的平均值

；

（2）动能的平均值

（3）动量的几率分布函数。

⒘证明下列关系式：

⒙量子力学中的力学量用什么算符表示？

为什么？

力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？

⒚表示力学量的厄密算符的所有本征函数构成；

力学量的取值范围就是该算符的所有。

⒛厄密算符有什么性质？

①试证明厄密算符的本征值必是实数。

②试证明厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

21.证明算符关系：

22.试证明算符

是厄密算符。

23.写出角动量分量

之间的对易关系。

24.

是

的可微函数，证明：

25.

各为厄密算符，试证明：

也是厄密算符的条件是

对易。

26.粒子在宽度为a的非对称一维无限深势阱中，其本征能量和本征波函数为：

当体系处于状态

时（A是归一化常数），证明：

①

②

27.氢原子处在基态

（1）r的平均值；

（2）势能

的平均值

28.一维运动粒子的状态是

（1）粒子动量的几率分布函数；

（2）粒子的平均动量。

（利用公式

）

29.设氢原子处在状态

试求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

30.量子力学中，体系的任意态

可用一组力学量完全集的共同本征态

展开：

，写出展开式系数

的表达式。

31.设粒子的波函数为

A．给出在该态中粒子动量的可能测量值及相应的几率振幅；

B．求出几率最大的动量值。

32.力学量算符在自身表象中的表示是一个矩阵；

同一个力学量算符在不同表象中的表示通过一个矩阵相联系。

33.设一力学量为

，求

的本征值和本征函数。

34.电子在均匀电场

中运动，哈密顿量为

，试判断

各量中哪些是守恒量，为什么？

第四章

⒈基底：

设e1,e2,e3为线性无关的三个向量，空间内任何向量v必是e1,e2,e3的线性组合，则e1,e2,e3称为空间的基底。

正交规范基底：

若基底的向量互相垂直，且每一向量的长度等于1，这样的基底叫做正交规范基底。

⒉希耳伯特空间：

如果把本征波函数Φm看成类似于几何学中的一个矢量（这就是波函数有时称为态矢量或态矢的原因），则波函数的集合｛φm｝构成的一个线性空间。

⒊表象：

量子力学中，态和力学量的具体表示方式。

⒋设已知在

的共同表象中，算符

的矩阵分别为

求它们的本征值和归一化的本征函数。

第五章

⒈

⒉斯塔克效应：

在外电场中，原子光谱产生分裂的现象。

⒊分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。

⒋周期微扰产生跃迁的条件是：

，说明只有当外界微扰含有频率

时，体系才能从

态跃迁到

态，这时体系吸收或发射的能量是

，这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。

⒌光的吸收现象：

在光的照射下，原子可能吸收光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的现象。

⒍原子的受激辐射（跃迁）现象：

在光的照射下，原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出光的现象。

⒎原子的自发辐射（跃迁）现象：