量子力学期末考试题目Word格式文档下载.docx
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由上式明显看出,当hν-W0≤0时,即ν≤ν0=W0/h时,电子不能脱出金属表面,从而没有光电子产生。
②光电子动能只决定于光子的频率:
上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关,而与光的强度无关。
⒔康普顿效应:
高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律:
①散射光中,除了原来X光的波长λ外,增加了一个新的波长为λ'
的X光,且λ'
>
λ;
②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。
⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象
⒗光具有微粒和波动的双重性质,这种性质称为光的波粒二象性
⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。
⒚光谱线:
光经过一系列光学透镜及棱镜后,会在底片上留下若干条线,每个线条就是一条光谱线。
所有光谱线的总和称为光谱。
⒛线状光谱:
原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。
21.标识线状光谱:
对于确定的原子,在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的,也就是说,可以表征原子特征的线状光谱。
22.戴维逊-革末实验证明了什么?
第二章
⒈量子力学中,原子的轨道半径的含义。
⒉波函数的物理意义:
某时刻t在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。
按照这种解释,描写粒子的波是几率波。
⒊波函数的特性:
波函数乘上一个常数后,并不改变在空间各点找到粒子的几率,即不改变波函数所描写的状态。
⒋波函数的归一化条件
⒌态叠加原理:
若体系具有一系列不同的可能状态Ψ1,Ψ2,…Ψn,则这些可能状态的任意线性组合,也一定是该体系的一个可能的状态。
也可以说,当体系处于态Ψ时,体系部分地处于态Ψ1,Ψ2,…Ψn中。
⒍波函数的标准条件:
单值性,有限性和连续性,波函数归一化。
⒎定态:
微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。
定态波函数:
描述定态的波函数称为定态波函数。
。
⒐定态的性质:
⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。
⑵粒子几率流密度不随时间改变。
⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。
⒑本征方程、本征值和本征波函数:
在量子力学中,若一个算符作用在一个波函数上,等于一个常数乘以该波函数,则称此方程为该算符的本征方程。
常数fn为该算符的第n个本征值。
波函数ψn为fn相应的本征波函数。
⒒束缚态:
在无穷远处为零的波函数所描述的状态。
基态:
体系能量最低的态。
⒓宇称:
在一维问题中,凡波函数ψ(x)为x的偶函数的态称为偶(正)宇称态;
凡波函数ψ(x)为x的奇函数的态称为奇(负)宇称态。
⒔在一维空间内运动的粒子的势能为(μω2x2)/2,ω是常数,这种粒子构成的体系称为线性谐振子。
线性谐振子的能级为:
⒕透射系数:
透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。
反射系数:
反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。
⒖隧道效应:
粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
⒗求证:
在薛定谔方程中
只有当势能V(r)为实函数时,连续性方程
才能成立。
⒘设一个质量为μ的粒子束缚在势场中作一维运动,其能量本征值和本征波函数分别为En,ψn,n=1,2,3,4、…。
求证:
⒙对一维运动的粒子,设Ψ1(x)和Ψ2(x)均为定态薛定谔方程的具有相同能量E的解,求证:
⒚一粒子在一维势场
中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
⒛体系处于ψ(x,t)态,几率密度ρ(x,t)=?
几率流密度j(x,t)=?
21.设粒子波函数为ψ(r,t),写出粒子几率守恒的微分表达式。
22.量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别?
答:
量子力学的波函数是一种概率波,没有直接可测的物理意义,它的模方表示概率,才有可测的意义;
经典的波场代表一种物理场,有直接可测的物理意义。
23.什么是量子力学中的定态?
它有什么特征?
24.设
为归一化的动量表象下的波函数,写出
的物理意义。
25.设质量为μ粒子处于如下势垒中
若U0>
0,E>
0,求在x=x0处的反射系数和透射系数。
26.设质量为μ粒子沿x轴正方向射向如下势垒
若V0>
27.一个粒子的波函数为
求:
①归一化常数A;
②画出
与
关系图,并求粒子出现最大几率的点。
③在
区间找到粒子的几率。
在
和
时的几率。
④
的平均值。
28.
,
为单位矩阵,则算符
的本征值为__________。
29.自由粒子体系,__________守恒;
中心力场中运动的粒子___________守恒。
30.力学量算符应满足的两个性质是。
厄密算符的本征函数具有。
第三章
⒈算符:
作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号,量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
⒉厄密算符的定义:
如果算符
满足下列等式
,则称
为厄密算符。
式中ψ和φ为任意波函数,x代表所有的变量,积分范围是所有变量变化的整个区域。
推论:
量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。
⒊厄密算符的性质:
厄密算符的本征值必是实数。
厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
⒋简并:
对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。
简并度:
对应于同一个本征值的本征函数的数目。
⒌氢原子的电离态:
氢原子中的电子脱离原子的束缚,成为自由电子的状态。
电离能:
电离态与基态能量之差
⒍氢原子中在半径r到r+dr的球壳内找到电子的概率是:
在方向(θ,φ)附近立体角dΩ内的概率是:
⒎两函数ψ1和ψ2正交的条件是:
式中积分是对变量变化的全部区域进行的,则称函数ψ1和ψ2相互正交。
⒏正交归一系:
满足正交条件的归一化本征函数φk或φl。
⒐厄密算符本征波函数的完全性:
如果φn(r)是厄密算符
的正交归一本征波函数,λn是本征值,则任一波函数ψ(r)可以按φn(r)展开为级数的性质。
或者说φn(r)组成完全系。
⒑算符与力学量的关系:
当体系处于算符
的本征态φ时,力学量F有确定值,这个值就是算符
在φ态中的本征值。
力学量在一般的状态中没有确定的数值,而有一系列的可能值,这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。
每个可能值都以确定的几率出现。
⒒算符对易关系:
。
可对易算符:
如果
,则称算符
是可对易的;
不对易算符:
是不对易的。
⒓两力学量同时有确定值的条件:
定理1:
如果两个算符
有一组共同本征函数φn,而且φn组成完全系,则算符对易。
定理2:
对易,则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。
⒔测不准关系:
当两个算符不对易时,它们不能同时有确定值,
⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是:
量子力学中的能量守恒定律形式是:
⒖空间反演:
把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如r→-r)的运算。
宇称算符:
表示空间反演运算的算符。
宇称守恒:
体系状态的宇称不随时间改变。
⒗一维谐振子处在基态
,求:
(1)势能的平均值
;
(2)动能的平均值
(3)动量的几率分布函数。
⒘证明下列关系式:
⒙量子力学中的力学量用什么算符表示?
为什么?
力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式?
⒚表示力学量的厄密算符的所有本征函数构成;
力学量的取值范围就是该算符的所有。
⒛厄密算符有什么性质?
①试证明厄密算符的本征值必是实数。
②试证明厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
21.证明算符关系:
22.试证明算符
是厄密算符。
23.写出角动量分量
之间的对易关系。
24.
是
的可微函数,证明:
25.
各为厄密算符,试证明:
也是厄密算符的条件是
对易。
26.粒子在宽度为a的非对称一维无限深势阱中,其本征能量和本征波函数为:
当体系处于状态
时(A是归一化常数),证明:
①
②
27.氢原子处在基态
(1)r的平均值;
(2)势能
的平均值
28.一维运动粒子的状态是
(1)粒子动量的几率分布函数;
(2)粒子的平均动量。
(利用公式
)
29.设氢原子处在状态
试求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
30.量子力学中,体系的任意态
可用一组力学量完全集的共同本征态
展开:
,写出展开式系数
的表达式。
31.设粒子的波函数为
A.给出在该态中粒子动量的可能测量值及相应的几率振幅;
B.求出几率最大的动量值。
32.力学量算符在自身表象中的表示是一个矩阵;
同一个力学量算符在不同表象中的表示通过一个矩阵相联系。
33.设一力学量为
,求
的本征值和本征函数。
34.电子在均匀电场
中运动,哈密顿量为
,试判断
各量中哪些是守恒量,为什么?
第四章
⒈基底:
设e1,e2,e3为线性无关的三个向量,空间内任何向量v必是e1,e2,e3的线性组合,则e1,e2,e3称为空间的基底。
正交规范基底:
若基底的向量互相垂直,且每一向量的长度等于1,这样的基底叫做正交规范基底。
⒉希耳伯特空间:
如果把本征波函数Φm看成类似于几何学中的一个矢量(这就是波函数有时称为态矢量或态矢的原因),则波函数的集合{φm}构成的一个线性空间。
⒊表象:
量子力学中,态和力学量的具体表示方式。
⒋设已知在
的共同表象中,算符
的矩阵分别为
求它们的本征值和归一化的本征函数。
第五章
⒈
⒉斯塔克效应:
在外电场中,原子光谱产生分裂的现象。
⒊分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。
⒋周期微扰产生跃迁的条件是:
,说明只有当外界微扰含有频率
时,体系才能从
态跃迁到
态,这时体系吸收或发射的能量是
,这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。
⒌光的吸收现象:
在光的照射下,原子可能吸收光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的现象。
⒍原子的受激辐射(跃迁)现象:
在光的照射下,原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出光的现象。
⒎原子的自发辐射(跃迁)现象: