新课标版高考数学专题2第一次周考排列组合与二项式定理单元测试理Word下载.docx

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A．240种B．192种C．96种D．48种

【答案】B

【解析】试题分析：

当丙乙在甲的左侧时：

，同理，当丙乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法．

考点：

排列、组合．

点评：

对于排列、组合的有关问题，相邻问题可以采取捆绑法，有特殊要求的可以采取优先排列法．本题正是灵活应用这两种方法来解决的，但要属于讨论乙丙在甲的那一侧，此为易错点．

4．

展开式中的常数项为（）

A．-8B．-12C．-20D．20

∵

，∴

，

令

，即

，∴常数项为

．故选C．

二项式定理．

5．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？

（）

A．680B．816C．1360D．1456

【答案】A

6．有两排座位，前排

个座位，后排

个座位，现安排

人就座，规定前排中间的

个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（）

C．

D．

【答案】D

【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，都在前排左面4个座位6种，都在前排右面4个座位6种，分列在中间3个的左右4×

4×

2=32种，在前排一共6+6+32=44种，甲乙都在后排共有

种，甲乙分列在前后两排

种，一共有44+110+192=346种．故选D．

7．将5名实习教师分配到某校高一年级的3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）

A．180种B．150种C．90种D．30种

8．

展开式中，

项的系数为（）

A．-150B．70C．90D．110

【解析】

展开式的通项公式为

展开式中，

项的系数为

，故选D．

9．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为

，当且仅当

时称为“凹数”（如213），若

，且

互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（）个

A．6B．7C．8D．9

【解析】由题设可知从

中任取三个所有可能为

，将其按凹数的定义排列有：

，共8个，应选答案C．

10．在

的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（）

A．60B．45C．30D．15

【解析】由题意可得：

2n=64，解得n=6．∴

的通项公式：

，令

，解得r=2．∴展开式中常数项为

．本题选择A选项．

11．3个老师和5个同学照相，老师不能坐在最左端，任何两位老师不能相邻，则不同的坐法种数是（）

点睛：

求解排列、组合问题常用的解题方法：

（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；

（2）元素相间的排列问题——“插空法”；

（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；

（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．

12．如图所示：

在杨辉三角中，斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：

记这个数列前

项和为

，则

等于（）

A．128B．144 

C．155D．164

【解析】由题干图知，数列中的首项是

，第

项是

故选

．

二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）

13．【2018四川雅安中学高三模拟】

的展开式中的常数项为．

【答案】

试题分析：

由通项公式得常数项为

，故答案为

【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

（1）求展开式中的特定项．可依据条件写出第

项，再由特定项的特点求出

值即可．

（2）已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第

项，由特定项得出

值，最后求出其参数．

14．【2018山东临沂一中高三模拟】动点

从正方体

的顶点

出发，沿着棱运动到顶点

后再到

，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为__________．（用数字作答）

【答案】18

15．【2018福建三明二中高三模拟】若

则

_______

【解析】在

中，令

得

得，

，二式相减得

16．【2018河北邢台一中高三模拟】已知

，

展开式的常数项为15，则

__________．

展开式通项为

，所以

，因为

．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【2018湖北武汉模拟】

（本小题满分10分）用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：

（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？

（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？

（3）求

即144的所有正约数的和．

（注：

每小题结果都写成数据形式）

（1）

；

（2）

（3）

试题解析：

（1）百位数子只能是2、3、4、6中之一，百位数字确定后，十位和个位数字的组成共有

种方法，所以可以组成没有重复数字的三位数共有

个．

（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成．共有

个（3）

，∴144的所有正约数的和为

排列组合综合应用．

18．【2018南京市联合体学校调研测试】

（本小题满分12分）已知

记

为集合

中所有元素之和

（1）求

的值；

（2）求

（用

表示）

（1）32；

1）

中元素有4个：

由题意求出这4个元素，即可得到

（2）由等比数列前

公示可证明：

要使集合

中元素

从而

可任意取

或

，由乘法原理

集合

中所有元素的和为：

，其和为32，

19．【2018江西上饶高三模拟】

（本小题满分12分）已知：

，函数

（1）当

时，

展开式中

的系数是25，求

（2）当

…

（I）求

（II）求

（2）（I）

；

（II）

（1）根据函数

的系数列方程

，求出

（2）ⅰ）赋值法：

分别令

两式相加得

ⅱ）赋值法：

和

，即可求出

的值．

……4分

相加得

------8分

因此

------12分

1．二项式定理；

2．赋值法求二项展开式的系数和．

20．【2017江苏南京盐城高三一模】设

（1）求值：

①

②

（

）；

（2）化简：

（Ⅰ）①0，②，0，（Ⅱ）

（Ⅱ）利用（Ⅰ）所得结论进行化简：

又

，代入化简得结果

解：

（1）①

．……………2分

．………………4分

．…10分

方法二：

当

时，由二项式定理，有

，两边同乘以

，得

，两边对

求导，得

，……………6分

两边再同乘以

两边再对

．……………8分

即

．…………10分

组合数定义及其性质

【思路点睛】二项式通项与展开式的应用

（1）通项的应用：

利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等．

（2）展开式的应用：

①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法．

②可证明整除问题（或求余数）．关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．

③有关组合式的求值证明，常采用构造法．

21．【2018天津和平区高三模拟】

（本小题满分12分）从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：

（1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？

（2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？

（3）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？

（1）30；

（2）91种；

（3）120种．

（3）用间接法分析：

先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案．

（1）

（2）方法1：

（间接法）在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：

（种）；

方法2：

（直接法）甲在内乙不在内有

种，乙在内甲不在内有

种，甲、乙都在内有

种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：

（种）．

3）方法1：

（间接法）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：

（直接法）分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：

（1）解排列组合问题要遵循两个原则：

①按元素（或位置）的性质进行分类；

②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．

（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：

①不均匀分组；

②均匀分组；

③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．

22．（本小题满分12分）已知

的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512．

（I）求展开式的所有有理项（指数为整数）；

项的系数．

（I）

Z，∴

，6，有理项为

（II）∵

项的系数为

二项式定理