《第一章三角形及其性质》知识点讲解+典型例题+辅导讲义文档格式.docx

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△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．

要点二、三角形的内角和

三角形内角和定理：

三角形的内角和为180°

．

应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关系．

要点三、三角形的分类

1.按角分类：

①锐角三角形：

三个内角都是锐角的三角形;

②钝角三角形：

有一个内角为钝角的三角形.

2.按边分类：

①不等边三角形：

三边都不相等的三角形；

②等腰三角形：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

③等边三角形：

三边都相等的三角形.

要点四、三角形的三边关系

定理：

三角形任意两边之和大于第三边.

推论：

三角形任意两边之差小于第三边.

（1）理论依据：

两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：

判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；

反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系．

要点五、三角形的三条重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：

线段名称

三角形的高

三角形的中线

三角形的角平分线

文字语言

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．

图形语言

作图语言

过点A作AD⊥BC于点D．

取BC边的中点D，连接AD．

作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．

标示图形

符号语言

1．AD是△ABC的高．

2．AD是△ABC中BC边上的高．

3．AD⊥BC于点D．

4．∠ADC＝90°

，∠ADB＝90°

（或∠ADC＝∠ADB＝90°

）

1．AD是△ABC的中线．

2．AD是△ABC中BC边上的中线．

3．BD＝DC＝

BC

4．点D是BC边的中点．

1．AD是△ABC的角平分线．

2．AD平分∠BAC，交BC于点D．

3．∠1＝∠2＝

∠BAC．

推理语言

因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．

（或∠ADB＝∠ADC＝90°

因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝

BC．

因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝

用途举例

1．线段垂直．

2．角度相等．

1．线段相等．

2．面积相等．

角度相等．

注意事项

1．与边的垂线不同．

2．不一定在三角形内．

—

与角的平分线不同．

重要特征

三角形的三条高（或它们的延长线）交于一点．

一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．

一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．

要点六、三角形的稳定性

三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。

（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．

（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；

在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．

【典型例题】

类型一、三角形的内角和

1．在△ABC中，若∠A＝

∠B＝

∠C，试判断该三角形的形状．

【思路点拨】由∠A＝

∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°

，可求出∠A、∠B和

∠C的度数，从而判断三角形的形状．

【答案与解析】

解：

设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．

由于∠A+∠B+∠C＝180°

，即有x+2x+3x＝180°

解得x＝30°

．故∠A＝30°

．∠B＝60°

，∠C＝90°

故△ABC是直角三角形．

【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．

举一反三：

【变式1】

（2015春•泰兴市期末）如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A=45°

，∠BDC=60°

，求△BDE各内角的度数．

【答案】

∵∠A=45°

，

∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15°

∵BD是∠ABC的角平分线，

∴∠DBC=∠EBD=15°

∵DE∥BC，

∴∠BDE=∠DBC=15°

；

∴∠BED=180°

﹣∠EBD﹣∠EDB=150°

【高清课堂：

与三角形有关的角练习（3）】

【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？

有对相等的锐角？

【答案】3,2．

2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°

，则∠C的度数是多少?

【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．

解：

分两种情况讨论：

（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，

∵BD是AC边上的高（已知），

∴∠ADB＝90°

（垂直定义）．

又∵∠ABD＝30°

（已知），

∴∠A＝180°

-∠ADB-∠ABD＝180°

-90°

-30°

＝60°

又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°

（三角形内角和定理），

∴∠ABC+∠C＝120°

又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°

（2）当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，

∵∠ABD＝30°

（已知），所以∠BAD＝60°

∴∠BAC＝120°

又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°

∴∠ABC+∠C＝60°

∴∠C＝30°

综上，∠C的度数为60°

或30°

【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；

要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．

类型二、三角形的分类

3.一个三角形一个内角的度数是108°

，这个三角形是（）三角形；

一个三角形三条边的长度分别是7cm，8cm，7cm，这个三角形是（）三角形.

【答案】钝角；

等腰

【变式】一个等腰三角形的边长为5cm和4cm，围成这个等腰三角形至少需要（）cm长的绳子，最多需要（）cm长绳子（接头忽略不计）.

【思路点拨】对于所给边长要分类讨论：

当4cm为腰长时，需要绳子的长度最短；

当5cm为腰长时，需要绳子的长度最长.

【答案】13；

14

类型三、三角形的三边关系

4.（2015春•太康县期末）在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．

根据三角形的三边关系得：

9﹣2＜BC＜9+2，

即7＜BC＜11，

∵BC为偶数，

∴AC=8或10，

∴△ABC的周长为：

9+2+8=19或9+2+10=21．

【总结升华】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系，还要注意第三边是偶数这一条件．

【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成　　　　个不同的三角形.当x为　　　　时，所组成的三角形周长最大.

【答案】三；

8（由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<

x-3<

4+2，解得5<

x<

9，因为x为整数，故x可取6，7，8；

当x=8时，组成的三角形周长最大为11）.

5.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．

（1）你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?

（2）若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?

（1）如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，

在△ABE中，AB+AE＞BE；

在△EOC中，OE+EC＞OC，

两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．

由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．

所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．

（2）因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．

又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．

【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．

【变式】若五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,则以其中三条线段为边可构成______个三角形.

【答案】3.

类型四、三角形中的重要线段

6.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．

【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．

如图

（1），设AB＝x，AD＝CD＝

（1）若AB+AD＝12，即

，所以x＝8，

即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．

此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．

（2）如图

（2），若AB+AD＝15，即

，所以x＝10．

即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．

显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．

综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．

【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．

与三角形有关的线段例5、】

【变式】有一块